Definition av yttre mått

Säg att A = {5}. Hur kan då A bli unionen av ett oändligt antal öppna intervall. Bara en tanke.

Jo, det är en väldigt bra poäng, som jag är förvånad över att jag inte tänkte på själv. Men i så fall undrar jag hur man ska tolka infimet. Kommer infimitet till mängden ligga utanför eller inuti mängden? Beror det på?'

Rimligtvis borde det ligga inuti.

Man tar väl infinum av summan av längderna av I_k. Det behöver inte alls bli ett element i A.

Ta t.ex. A = [9, 10]. Måttet är 1.

Jag undrar varför man inte i stället säger att I_k ska vara disjunkta och deras union lika med A, så slipper man infinum, men jag kan egentligen inte det här.

Laguna skrev:

Jag undrar varför man inte i stället säger att I_k ska vara disjunkta och deras union lika med A, så slipper man infinum, men jag kan egentligen inte det här.

Eftersom att de är öppna intervall kan de väl inte vara disjunkta och samtidigt vara lika med (eller inkludera) A.

Nu funderar jag på mängden [0, 1] \ R, alltså alla ickerationella tal mellan 0 och 1. Blir måttet 1?

Man tar väl infinum av summan av längderna av I_k. Det behöver inte alls bli ett element i A.

Man tar infimum av mängden av alla sådana summor. Men du har nog rätt i att infimet inte måste ligga i $A$. Ju mer jag tänker desto mer förvirrar jag mig själv.

Väldigt svårt ämne.

Lyckas du inte få mer hjälp här kan du spendera natten med att läsa igenom Wikipedia sidan för Lesbesgue-måttet. Förhoppningsvis klarnar det lite :)

Det som gör det här krångligt är att författaren bara slänger ur sig definitioner med väldigt icke-konkreta exempel. Det här skulle vara en av de mer pedagogiska böckerna på området. Man känner sig inte så supersmart direkt när författaren skriver "Clearly, it must follow..." och sedan något extremt icke-trivialt.

Apropå Wikipediasidan du skickade berör ett av styckena det jag undrar över:

Förstår jag det rätt då om infimet av mängden inte nödvändigtvis "motsvarar" någon följd $(I_k)_{k\in\mathbb{N}}$? I Lagunas exempel med [9,10] finns det ju ingen union av öppna intervall som exakt motsvarar [9,10], så $1$ kommer ju aldrig ligga i mängden man tar infimet av. Men man kan ju komma godtyckligt nära 1, så då borde 1 vara infimum, eller hur?

Precis, det stämmer nog.

En annan notering är att sammanhängande intervall har det triviala yttre måttet övre gräns - undre gräns eftersom att intervallet kan täckas av ett enda öppet intervall. Dessutom medför infimum att måttet av det öppna intervall är detsamma som motsvarande mindre slutna intervall, eftersom att det lilla extra i ändarna försvinner.

Lagunas fråga #6 var intressant, och värt att fundera på.

Min spontana tanke är att måttet blir 1, eftersom att de öppna intervallen tvingas inkludera även rationella tal (finns det öppna intervall utan rationella tal?).

Dessutom medför infimum att måttet av det öppna intervall är detsamma som motsvarande mindre slutna intervall, eftersom att det lilla extra i ändarna försvinner.

Vad exakt menar du med detta? I mitt sömniga tillstånd igår kväll mejakde det perfekt sense, men nu när jag läser det igen förstår jag inte riktigt. Menar du att infinimet gör att slutna intervall (som ju är "större" än öppna intervall) får samma yttre mått som motsvarande öppna intervall?

Eftersom "storleken" på slutna intervall alltid kommer överapproximeras oavsett vilken följd $(I_k)_{k\in\mathbb{N}}$ man väljer.

Låt oss illustrera det med följande exempel: Intervallet [0,1].

Detta ska övertäckas med ett öppet intervall som alltså måste inkludera en infinitesimal på båda sidor om intervallgränsen (-e respektive 1+e där e är en infinitesimal). Eftersom att måttet av infinitesimalen är 0 kommer måttet av detta öppna intervall vara lika stort som motsvarande (mindre) slutna intervall.

Det omvända är kanske mer intuitivt, dvs att måttet av det öppna intervallet (0,1) är densamma som måttet av motsvarande större slutna intervall [0,1].

Dock behöver vi ett öppet intervall som är större än det slutna intervallet i detta fall, vilket gör att vi behöver lägga till infinitesimaler utanför intervallgränserna istället för att subtrahera infinitesimaler innanför intervallgränserna.

Det omvända är kanske mer intuitivt, dvs att måttet av det öppna intervallet (0,1) är densamma som måttet av motsvarande större slutna intervall [0,1].

Precis, det var detta jag menade. Och detta åstadkommer vi alltså genom att ta infimum av mängden, eftersom man, oavsett val av följd $(I_k)_{k\in\mathbb{N}}$, alltid kommer överapproximera ett slutet intervall med unioner av öppna intervall, eller hur? Men överapproximeringen kan göras godtyckligt liten, så infimet bör vara $1$ för mängden $[0,1]$. Och $b-a$ generellt för $[a,b]$.

Och istället för att tala om infinitesimaler (som inte finns bland de reella talen) kan vi väl bara lägga till ett godtyckligt tal $\varepsilon$?

Jag tror att vi håller med varandra gällande den första punkten.

Och istället för att tala om infinitesimaler (som inte finns bland de reella talen) kan vi väl bara lägga till ett godtyckligt tal $\varepsilon$?

Då blir inte måttet 1 längre, utan 1+2$\varepsilon$.

Vi behöver därmed ett objekt som inte tillhör de reella talen för att uttrycka de lilla extra värden i det öppna intervallet. Det är det som är det praktiska med infinitesimaler tycker jag.

Då blir inte måttet 1 längre, utan 1+2ε

Visserligen. Men är det verkligen ett problem? Låt säga att vi vill ta det yttre måttet av $\displaystyle A=[0,1]$. För att göra detta betraktar vi istället $\displaystyle A_{2}=(0-\varepsilon,1+\varepsilon)$, för en godtycklig (positiv) konstant $\varepsilon$. Detta ger då:

$\displaystyle 1\le\left|A\right|< \left|A_{2}\right|\iff 1\le\left|A\right|< 1+2\varepsilon\implies\left|A\right|=1$

Men jag kanske tänker helt tokigt. Använder man ofta infinitesimaler i måtteori?

Det där kanske går, jag kan inte svara på hur du rigoröst visar detta.

Infinitesimaler används nog inte så ofta, det var mer mitt sätt att få en intuitiv förståelse för det. Möjligtvis går det att enbart introducera ett godtyckligt $\varepsilon$, alternativt undersöka ett gränsvärde mot 0.

Hmm. Här är ett exempel ur boken, som jag tror uttnyttjar det jag försökte uttnyttja här:

Suppose $\displaystyle A=\{ a_1,a_2,...,a_n \}$ is a finite set of real numbers. Suppose $\varepsilon > 0$. Define a sequence $\displaystyle I_1,I_2,...$ of open intervals by:

$\displaystyle \displaystyle I_k=\left\{\begin{array}{ll}(a_k-\varepsilon,a_k+\varepsilon)&\text{if }k\le n\\\emptyset&\text{if }k>n\end{array}\right.$

Then $I_1,I_2,...$ is a sequence of open intervals whose union contain $A$. Clearly $\sum_{k=1}^{\infty}\ell(I_k)=2\varepsilon n$. Hence $\left| A\right|\le2\varepsilon n$. Because $\varepsilon$ is an arbitrary positive number, this implies that $\left| A\right| = 0$

Men det jag undrar över är hur Axler vet att han har hittat just infimet av alla summor av längder av öppna intervall. Så som jag ser det har han visat vad precis denna summa blir, vid just detta val av öppna intervall. Men å andra sidan kan man ju inte få något mindre än 0 oavsett vilken följd av öppna intervall man väljer. Så han vet direkt att $0$ måste vara infimet då.

naytte skrev:

l. Så som jag ser det har han visat vad precis denna summa blir, vid just detta val av öppna intervall. Men å andra sidan kan man ju inte få något mindre än 0 oavsett vilken följd av öppna intervall man väljer. Så han vet direkt att $0$ måste vara infimet då.

Ja, det stämmer. Du  (eller författaren) har använt ett godtyckligt $\varepsilon$ och eftersom ni får välja det hur nära 0 som helst samtidigt som $n$ är ändligt kan man välja att låta sin nedre begränsning (minorant) gå mot 0 och vara helt säker på att man samtidigt hittat den minsta möjliga övertäckningen. (Måttet kan inte vara mindre)

Du har med andra ord visat att måttet av ett ändligt antal reella tal  ($n<\infty$ st rella tal ) är $0$.

Men man kan faktiskt gå ännu längre (genom ett listigt val av intervallängden som täcker varje tal) och visa att måttet av ett uppräkneligt oändligt antal tal är $0$. Man säger att varje uppräkningsbar delmängd av $\mathbb{R}$ har det yttre måttet $0$.

naytte skrev:

Det som gör det här krångligt är att författaren bara slänger ur sig definitioner med väldigt icke-konkreta exempel. Det här skulle vara en av de mer pedagogiska böckerna på området. Man känner sig inte så supersmart direkt när författaren skriver "Clearly, it must follow..." och sedan något extremt icke-trivialt.

Känner inte till boken du använder, men normalt sett är måtteori på den här nivån något man stöter på första året som forskarstuderande / doktorand. Boken förutsätter förmodligen en matematisk mognad motsvarande några års matematikstudier på högskolenivå. Jag vill inte på något sätt gatekeepa men samtidigt vill jag inte att du ska känna dig dum och tappa sugen. Se det som en utmaning, men bli inte upprörd om det känns svårt, du ska egentligen ha läst några grundkurser först :-)

Edit: Nu har jag hittat en pdf-version av boken, och dessutom en pdf med förkunskapsrepetition som författaren förutsätter! Där verkar författaren definiera och diskutera sup/inf, mängder och intervall och bok+supplement är dessutom gratis!

https://measure.axler.net/SupplementMIRA.pdf

Tack för hjälpen med exemplet och för de betryggande orden! När jag uttryckte min irritation över att allt var "trivialt" för en familjemedlem fick jag bara ett garv tillbaka. Det verkar inte vara ovanligt att allting är "trivialt"... 🙃 (även om jag uppenbarligen saknar en del matematisk mognad, som du nämner)

Men man kan faktiskt gå ännu längre (genom ett listigt val av intervallängden som täcker varje tal) och visa att måttet av ett uppräkneligt oändligt antal tal är $0$. Man säger att varje uppräkningsbar delmängd av $\mathbb{R}$ har det yttre måttet $0$.

Uppräkneligt oändlig är detsamma som countable, eller hur? Jag tror faktiskt jag har en liten föraning om hur man skulle kunna välja sina intervall då.

naytte skrev:

 

Uppräkneligt oändlig är detsamma som countable, eller hur? Jag tror faktiskt jag har en liten föraning om hur man skulle kunna välja sina intervall då.

Japp, exakt så. Summan får vara oändlig, men man måste kunna "räkna upp den". Give it a go :-)

Fasiken. Jag trodde jag hade en bra idé, men det fungerade inte. Jag tänkte först att man kan försöka fånga måttet mellan noll och ett reellt tal, som Axler gjorde i exemplet ovan, men det blir problematiskt eftersom man får att summan divergerar (på sättet som jag tänkte). Man kanske måste försöka få ändpunkterna att gå mot $a_k$ när $k\to \infty$. Kanske kan man låta:

$\displaystyle I_k=(a_k-\frac{\varepsilon}{k},a_k+\frac{\varepsilon}{k})$, för en uppräknelig mängd $A=\{ a_1,a_2,... \}$

Om vi nu kollar på summan:

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\ell \left(I_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2\varepsilon}{k}\right)$

Så konvergerar den förhoppningsvis mot något reellt. Men idén är i alla fall att välja en följd öppna intervall så att termerna med $\varepsilon$ försvinner i ändpunkterna. Då konvergerar summan förhoppningsvis, och då har man fångat den mellan $0$ och ett godtyckligt reellt tal.

Tillägg: 12 jul 2024 17:49

Och ursäkta att mitt svar kom så sent. Jag fastnade i något annat en stund.

Tillägg: 12 jul 2024 20:18

Okej, inser nu att detta är harmoniska serien med en twist och att den naturligtvis är divergent. Vad sägs om:

$\displaystyle I_k = (a_k - \frac{\varepsilon}{k^e}, a_k + \frac{\varepsilon}{k^e})$

Då får man ju rimligtvis något konvergent. Och dessutom får man med talet $e$, vilket är lite fränt.

Om det nu kan vara till någon hjälp, så är det s k positiva mått (egentligen icke-negativa) som du hanterar i den här tråden. Värdemängden för sådana får innehålla oändligheten. Det finns också mått som kan ge negativa värden för vissa delmängder. Då brukar man utesluta minst ettdera + eller - oändl. För komplexa mått är oändligheten helt och hållet uteslutet.

Tomten skrev:

Om det nu kan vara till någon hjälp, så är det s k positiva mått (egentligen icke-negativa) som du hanterar i den här tråden. Värdemängden för sådana får innehålla oändligheten. Det finns också mått som kan ge negativa värden för vissa delmängder. Då brukar man utesluta minst ettdera + eller - oändl. För komplexa mått är oändligheten helt och hållet uteslutet.

Skummade igenom Wikipedia men hade svårt att föreställa mig ett konkret exempel på en mängd som har ett negativt mått. Skulle du kunna ge oss nåt exempel?

Sök på ”real measures” alt ”complex measures”.

naytte skrev:

Okej, inser nu att detta är harmoniska serien med en twist och att den naturligtvis är divergent. Vad sägs om:

$\displaystyle I_k = (a_k - \frac{\varepsilon}{k^e}, a_k + \frac{\varepsilon}{k^e})$

Då får man ju rimligtvis något konvergent. Och dessutom får man med talet $e$, vilket är lite fränt.

Ja, snyggt! Den viktiga idéen är alltså att använda en oändlig serie övertäckande intervall vars summa konvergerar mot ett ändligt tal.

Mitt enda estetiska invändning här är att du valt en serie som är lite "svår". Varje delintervall får längden $2\varepsilon\frac{1}{k^e}$ och summan blir

$\displaystyle 2\varepsilon \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^e}=2\varepsilon\cdot \zeta\left(e\right)$

Där $\zeta(s)$ är  Riemann Zeta-funktionen och $\zeta(e)\approx 1.2690\dots$. Det kan vara snällare mot läsaren att välja en geometrisk serie vars summa man redan känner till och som anses mer trivial. En snällare variant hade varit $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{e^k}$ (du kanske egentligen tänkte på den serien). Pedagogisk standard i dessa sammanhang är annars

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}=1$

och då får vi alltså summan $2\varepsilon \cdot 1$. Men exakt vad som anses snyggast eller enklast ju lite av en smaksak :-)