Definition av kontinuitet med infinitesimaler

Nu när jag funderar täcker denna definition inte styckvis definierade funktioner. Kanske bör man betrakta $x_0+\phi$ och $x_0-\phi$, och sedan se huruvida den "reella delen" av $f(x_0+\phi)$ överrensstämmer med den reella delen av $f(x_0-\phi)$.

Kontinuitetsbegreppet hör till topologin. De funktioner du tittar på verkar kräva någon slags metrik. I det allmänna fallet f: X-->Y behöver X och Y inte vara metriska rum. Däremot måste de vara topologiska rum för att ett kontiuitetsbegrepp ska vara meningsfullt. I den situationen finns den allmänna definitionen: f är kontinuerlig omm inversa bilden av varje öppen mängd i Y är öppen i X. I metriska rum kokar den definitionen snyggt ner till den kända epsilon-delta definitionen. Behöver man verkligen ytterligare en definition?

Skulle du kunna ge ett exempel på vad som avses med "invers bild" i detta fall? Beroende på vad svaret på den frågan är kan jag nog svara på om en ytterligare egentligen behövs.

Låt f: X—>Y och A en delmängd av Y. Inversa bilden av A skriver vi f^-1(A) och definierar f^-1(A) = {x€X: f(x)€A} (Ursäkta mitt monetära tillhörighetstecken men har inte det riktiga).

Några kommentarer till @nayttes ursprungsinlägg:

1) Vilken typ av funktioner är det du tänker dig att den här definitionen av kontinuitet ska vara tillämplig på? Vad ska funktionens definitions- och målmängd vara (X och Y i inlägg #1)?

2) Man brukar inte säga att funktionen f:R\{0}->R definierad av f(x)=1/x är diskontinuerlig i punkten 0, eftersom den inte ens är definierad där. Tvärtom brukar 1/x betraktas som en kontinuerlig funktion! (Så 1/x är kanske inget klockrent exempel att fokusera på?)

3) Vad säger din definition om funktionen definierad av f(x)=-1 för x<0 och f(x)=1 för x>=0?

4) Vad säger definitionen om funktionen definierad av f(x)=x^2 för x≠1 och f(x)=2024 för x=1?

4) Vad säger definitionen om funktionen definierad av f(x)=x^2 för x≠1 och f(x)=2024 för x=1?

Att funktionen inte är kontinuerlig. Jag har en lite uppdaterad variant, att $f$ är kont. runt en punkt $x=x_0$ omm $\mathrm{Re}(f(x_0+\phi)) = \mathrm{Re}(f(x_0-\phi))$. I detta fall får vi att realdelen då vi sätter in $1+\phi$ är 2024 och då vi sätter in $1-\phi$ får vi 1. Så den är inte kontinuerlig runt punkten $x=1$.

3) Vad säger din definition om funktionen definierad av f(x)=-1 för x<0 och f(x)=1 för x>=0?

Samma resonemang här. Vi ser att $\mathrm{Re}(f(0-\phi)) = -1$ och att $\mathrm{Re}(f(0+\phi)) = 1$, dvs. funktionen är ej kontinuerlig runt punkten $x=0$

1) Vilken typ av funktioner är det du tänker dig att den här definitionen av kontinuitet ska vara tillämplig på? Vad ska funktionens definitions- och målmängd vara (X och Y i inlägg #1)?

Tänker att denna definition ska gå att tillämpa på funktioner som i vanliga fall är reellvärda, så jag tänker att $X,Y \subseteq \mathbb{R}$.

Hm, om f:R->R är en godtycklig funktion definierad på de reella talen så känns inte helt självklart hur man ska definiera vad f(x0+ϕ) betyder?

Hur ska vi till exempel tolka sin(ϕ) för en infinitesimal ϕ? Eller om vi definierar en funktion f:R->R genom att sätta f(x)=1 för rationella tal x, och f(x)=0 för irrationella reella tal x; hur ska vi tolka f(ϕ) för en infinitesimal ϕ?

Hoppsan, jag skrev lite fel. Jag menade att funktionen skulle vara definierad på min utvidgade mängd $\mathbb{R}(\varepsilon)$ (som innehåller i princip alla elementärfunktioner förutom de trigonometriska hittills). Det jag menade var att detta skulle kunna användas för att kontrollera kontinuitet för reellvärda funktioner, men egentligen tänker jag att $X, Y \subseteq \mathbb{R}(\varepsilon)$.

Eller om vi definierar en funktion f:R->R genom att sätta f(x)=1 för rationella tal x, och f(x)=0 för irrationella reella tal x; hur ska vi tolka f(ϕ) för en infinitesimal ϕ?

Har faktiskt ingen aning hur man skulle hantera ett sådant fall, tror inte mitt ramverk stödjer det. Men man kan väl inte diskutera kontinuitet för en sådan funktion med reell analys heller?

Hur ska vi till exempel tolka sin(ϕ) för en infinitesimal ϕ?

Nu har jag inte definierat de trigonometriska funktionerna ännu, men jag tänker att $\sin \phi$ ska vara något som är infinitesimalt. Exakt hur den infinitesimalen ser ut går inte veta (precis på samma sätt som $\sin 10^{\circ}$ saknar representation utan trigonometriska funktioner!).

Tillägg: 9 maj 2024 15:18

Anledningen till att jag saknar tillgång till trig-funktioner är att de är lite krångliga att definiera. Jag vill helst undvika komplexa tal och hålla mig i den semi-reella världen. Jag funderade på att använda potensserien för $\sin x$ men det blir lite cirkulärt, eftersom man då behöver känna dess derivata och jag utgår ifrån att gränsvärden ej finns. Men nu när jag tänker efter kan man nog väldigt enkelt definiera gränsvärden med infinitesimaler. Något i stil med:

Låt $a \sim b \iff$ differensen $a-b$ är infinitesimal. Låt vidare:

$\lim_{x \to a} f\left(x\right)=L \iff x \sim a\implies f \left( x \right)\sim L$

Det verkar som en lite finare variant av den gamla goda epsilon-delta definitionen. Jag blir lite osäker nu, men jag har för mig att jag läste en liknande definition för några månader sedan i Jerome Keislers bok Elementary Calculus: an infinitesimal appraoch.

naytte skrev:

Hoppsan, jag skrev lite fel. Jag menade att funktionen skulle vara definierad på min utvidgade mängd $\mathbb{R}(\varepsilon)$ (som innehåller i princip alla elementärfunktioner förutom de trigonometriska hittills). Det jag menade var att detta skulle kunna användas för att kontrollera kontinuitet för reellvärda funktioner, men egentligen tänker jag att $X, Y \subseteq \mathbb{R}(\varepsilon)$.

Eller om vi definierar en funktion f:R->R genom att sätta f(x)=1 för rationella tal x, och f(x)=0 för irrationella reella tal x; hur ska vi tolka f(ϕ) för en infinitesimal ϕ?

Har faktiskt ingen aning hur man skulle hantera ett sådant fall, tror inte mitt ramverk stödjer det. Men man kan väl inte diskutera kontinuitet för en sådan funktion med reell analys heller?

Hur ska vi till exempel tolka sin(ϕ) för en infinitesimal ϕ?

Nu har jag inte definierat de trigonometriska funktionerna ännu, men jag tänker att $\sin \phi$ ska vara något som är infinitesimalt. Exakt hur den infinitesimalen ser ut går inte veta (precis på samma sätt som $\sin 10^{\circ}$ saknar representation utan trigonometriska funktioner!).

---

Tillägg: 9 maj 2024 15:18

Anledningen till att jag saknar tillgång till trig-funktioner är att de är lite krångliga att definiera. Jag vill helst undvika komplexa tal och hålla mig i den semi-reella världen. Jag funderade på att använda potensserien för $\sin x$ men det blir lite cirkulärt, eftersom man då behöver känna dess derivata och jag utgår ifrån att gränsvärden ej finns. Men nu när jag tänker efter kan man nog väldigt enkelt definiera gränsvärden med infinitesimaler. Något i stil med:

Låt $a \sim b \iff$ differensen $a-b$ är infinitesimal. Låt vidare:

$\lim_{x \to a} f\left(x\right)=L \iff x \sim a\implies f \left( x \right)\sim L$

Det verkar som en lite finare variant av den gamla goda epsilon-delta definitionen. Jag blir lite osäker nu, men jag har för mig att jag läste en liknande definition för några månader sedan i Jerome Keislers bok Elementary Calculus: an infinitesimal appraoch.

Det går definitivt att hatnera kontinuitet av funktioner s.som f(x)=1 om rationellt, 0 annars, inom reell analys.

Hur då? Skulle du kunna ge ett exempel?

Man kan absolut diskutera kontinuitet av väldigt märkliga funktioner i traditionell reell analys! Ett kul exempel är den ökända popcornfunktionen! Men jag tycker det låter vettigt att begränsa dig till rimligare funktioner i ditt gymnasiearbete.

Om man vill få in trigonometriska funktioner i det här ramverket (vilket du verkligen inte måste), tänker jag att man på något vis hade velat att den vanliga utvecklingen

    sin(a+ϕ) = sin(a) + ϕ cos(a) - 1/2 ϕ^2 sin(a) - 1/6 ϕ^3 cos(a) + 1/24 ϕ^4 sin(a) + ...

gäller. Från det tänker jag att det förhoppningsvis följer att differensen sin(a+ϕ)-sin(a) är infinitesimal för alla(?) infinitesimala tal ϕ, vilket enligt din senaste definition ger att sin är kontinuerlig vid punkten a.

Hm, intressant tanke! Jag visste inte att den utvecklingen fanns, men det verkar som ett bra förslag! Ska titta mer på det.

Jag fick en idé nu som är lite mer heuristisk. Om vi utgår från enhetscirkeln och använder den på gymnasiet gängse definitionen för $\sin x$ och $\cos x$ som $y$-värdet respektive $x$-värdet på enhetscirkeln, skulle man kunna helt enkelt kunna säga att $\sin \phi$ uppenbarligen blir infinitesimalt eftersom triangeln som uppstår i cirkeln bara har infinitesimala mått. Sedan exakt vilken infinitesimal det blir spelar ingen roll. 

Men jag föredrar definitivt ditt förslag! Ska kolla vidare på det.

EDIT: men nu när jag tittar lite närmare på det är din potensserie väl egentligen en Taylorutveckling?