Definition av derivata med noll i nämnaren

h är inte exakt 0, h kommer vara oändligt nära noll.

sin(0) = 0 eller hur? Om vi då sätter att h->0 vad blir då sin(h)? sin(h) blir 0, men eftersom att h->0 kan vi också sätta att sin(h)=h. Alltså sinus för väldigt små tal är lika med talet själv. sin(h)/h => h/h =>  1

Hoppas du förstår.

Ni fick mig att inse att h är inte lika med noll h=/0 istället så betyder det att den rör sig mot noll h->0 

D.v.s. h är ett närmre tal till 0.

Det finns ett bra geometriskt bevis för varför gränsvärdet för 

$\dfrac{\sin h}{h}$

blir som det blir när h går mot 0. Det finns förhoppningsvis i din lärobok 

Observera att gränsvärdet är beroende av vilket vinkelmått som används.  

Det andra gränsvärdet

$\dfrac{\cos h -1}{h}$

går mot 0, oberoende av vinkelmått, när h går mot 0.

Det är just detta som är en av huvudkoncepten i just kalkyl, man skiljer på x=0 och att x "går mot" 0, måste inte vara just 0 men vilket tal som helst. Om man säger exempelvis f(0) så stoppar man in just x=0 i funktionen f, men om man säger "går mot 0" så introducerar man en ny notation som kallas ett gränsvärde, dvs $\underset{x\to 0}{\lim } f\left(x\right).$Där man tittar på vad som händer när x går allt närmare 0, men aldrig är exakt 0. Ibland kan substitution och gränsvärde ge samma svar, exempelvis om f(x)=2x+1 så ger f(1)=2(1)+1=3, så ger även $\underset{x\to 1}{\lim } 2x+1=3$. Men om vi istället tittar på:

$f\left(x\right)=\frac{x^2-4}{x-2}$och tar f(2), detta blir odefinerat då vi delar med 0 i nämnaren. Men gränsvärdet ger:

$\underset{x\to 2}{\lim } \frac{x^2-4}{x-2}=4.$, vilket inte är odefinerat, detta funkade eftersom att man kan expandera täljaren då det är skillnaden av två kvadrater och sedan kan (x-2) faktorerna ta ut varandra och allt vi har kvar är (x+2), och då blir svaret förstås 4 då x går mot 2. Men ibland kan man inte göra det så här enkelt, tittar man på sin(x)/x då x=0 så är det odefinerat då vi får 0/0, men låter man x vara oändligt nära 0 så blir svaret helt plötsligt 1 istället. Detta blir klart när man ser grafen för sin(x)/x och det finns bevis för varför detta är sant, men det viktigaste är att kunna förstå skillnaden mellan $h=0$och $h\to 0$.