Definition a =6k +3 (Matematik/Årskurs 9)

Du vill kunna skriva $a^2$ som $a^2 = 6l + 3$ för heltal $l$ (jag väljer en annan bokstav så att det blir tydligare att det kommer bli ett annat tal än $k$ i $a = 6k + 3$ ). Kan du skriva om ditt uttryck så att det blir tydligt vad $l$ är, och att det är ett heltal?

Inabsurdum skrev:
Du vill kunna skriva $a^2$ som $a^2 = 6l + 3$ för heltal $l$ (jag väljer en annan bokstav så att det blir tydligare att det kommer bli ett annat tal än $k$ i $a = 6k + 3$ ). Kan du skriva om ditt uttryck så att det blir tydligt vad $l$ är, och att det är ett heltal?

nu hänger jag inte med riktigt.

Bra början, men det är en bit kvar.
Du ska också visa att a^2 = (6k+3)(6k+3) kan skrivas
på formen 6u + 3 för något heltal u.

Du vet också att $a^{2} = 36 k^{2} + 36 k + 6 + 3$

Kommer du vidare från det?

EDIT: Jag såg inte inlägget från Inabsurdum nr jag postade detta

baharsafari skrev:
Inabsurdum skrev:
Du vill kunna skriva $a^2$ som $a^2 = 6l + 3$ för heltal $l$ (jag väljer en annan bokstav så att det blir tydligare att det kommer bli ett annat tal än $k$ i $a = 6k + 3$ ). Kan du skriva om ditt uttryck så att det blir tydligt vad $l$ är, och att det är ett heltal?
nu hänger jag inte med riktigt.

Om du utgår från det du har $a^2 = 36k^2 + 36k + 9$ kan du skriva om det till $6l + 3$ för något heltal $l$ ? Som Arktos skriver kan du börja med att skriva det som $36k^2 + 36k + 6 + 3$ så vet du att $6l$ måste vara $36k^2 + 36k + 6$ . Kan du fortsätta?

Inabsurdum skrev:
baharsafari skrev:
Inabsurdum skrev:
Du vill kunna skriva $a^2$ som $a^2 = 6l + 3$ för heltal $l$ (jag väljer en annan bokstav så att det blir tydligare att det kommer bli ett annat tal än $k$ i $a = 6k + 3$ ). Kan du skriva om ditt uttryck så att det blir tydligt vad $l$ är, och att det är ett heltal?
nu hänger jag inte med riktigt.

Om du utgår från det du har $a^2 = 36k^2 + 36k + 9$ kan du skriva om det till $6l + 3$ för något heltal $l$ ? Som Arktos skriver kan du börja med att skriva det som $36k^2 + 36k + 6 + 3$ så vet du att $6l$ måste vara $36k^2 + 36k + 6$ . Kan du fortsätta?

det blir väl samma sak om skriver det som a² =36k²+ 36k+9

(6 $I$ +3)(6 $I$ +3)= 36 $I$ ² + 36 $I$ +9

och då ska de vara lika ?

Formellt är det samma sak, men det är inte det du ska visa.
Du ska visa att 36k^2+36k+9 är ett högintressant tal.

Då måste du visa att det kan skrivas på formen 6u + 3 för något heltal u,
eller på formen 6l+ 3 för något heltal l (vilket är samma sak).

Arktos skrev:
Formellt är det samma sak, men det är inte det du ska visa.
Du ska visa att 36k^2+36k+9 är ett högintressant tal.
Då måste du visa att det kan skrivas på formen 6u + 3 för något heltal u,
eller på formen 6l+ 3 för något heltal l (vilket är samma sak).

ja, det är precis det jag inte förstår hur jag ska göra.

Lite ekvationslösning hjälper:

Bestäm u så att 6u + 3 = 36k^2+36k+9 .

Visa att det värdet på u är ett heltal
eller
Visa att det uttrycket för u är ett heltal

Då är du hemma!

Arktos skrev:
Lite ekvationslösning hjälper:
Bestäm u så att 6u + 3 = 36k^2+36k+9 .
Visa att det värdet på u är ett heltal
eller
Visa att det uttrycket för u är ett heltal
Då är du hemma!

jag vet inte om det är rätt men jag fick u = K( $\frac{k}{6}$ +1)

vad är det ens?

Ja, det kan man undra.
Och hur kom K in i uttrycket?
Visa hur du gjorde, så ska vi reda ut var det kan ha gått snett.

Arktos skrev:
Ja, det kan man undra.
Och hur kom K in i uttrycket?
Visa hur du gjorde, så ska vi reda ut var det kan ha gått snett.

jag löste ut u ur 6u + 3 = 36k^2+36k+9. Vet fortfarande inte varför en ny variabel dyker upp.

Gör det en gång till utan att titta på din gamla lösning:
Skriv om ekvationen 6u + 3 = 36k^2+36k+9 så att u står ensam i vänstra ledet
Vad kommer du fram till nu?

Blir det kanske lättare så här:
Sätt y = 36k^2+36k+9
Lös u i ekvationen 6u + 3 = y
Ersätt y med 36k^2+36k+9 i lösningen och snygga till.

Arktos skrev:
Gör det en gång till utan att titta på din gamla lösning:
Skriv om ekvationen 6u + 3 = 36k^2+36k+9 så att u står ensam i vänstra ledet
Vad kommer du fram till nu?
Blir det kanske lättare så här:
Sätt y = 36k^2+36k+9
Lös u i ekvationen 6u + 3 = y
Ersätt y med 36k^2+36k+9 i lösningen och snygga till.

6u= y-3

u = $\frac{y - 3}{6}$

u = $\frac{36 k^{2} + 36 k + 9 - 3}{6}$

u = $6 k^{2} + 6 k$

Nu är du vid målsnöret!

Men täljaren i det näst sista uttrycket blir 36k^2+36k+6
och dividerar du det med 6 får du 6k^2+6k+1.

Kan du visa att 6k^2+6k+1 är ett heltal?

Arktos skrev:
Nu är du vid målsnöret!
Men täljaren i det näst sista uttrycket blir 36k^2+36k+6
och dividerar du det med 6 får du 6k^2+6k+1.
Kan du visa att 6k^2+6k+1 är ett heltal?

Hur? Faktorisering?

Nej, mycket enklare än så.

Vi vet att k är ett heltal.
Vi vet också att
• heltal · heltal = heltal
• heltal + heltal = heltal
och då kan vi lugnt påstå att 6k^2+6k+1 är ett heltal.

Håller du med om det?

EDIT innan redigeringstiden går ut.
Det har varit så många turer att jag på slutet nästan glömt hur det började.
Bäst att dra hela resonemanget medan vi kommer ihåg hur det var.

• Ett högintressant tal är ett heltal som kan skrivas som 6k+3 där k är ett heltal
• a = 6k+3 är ett sådant tal.
• Visa att i så fall även a^2 är högintressant.
• a^2 = (6k+3)^2 = 36k^2 + 36k + 9
• Visa att 36k^2 + 36k + 9 kan skrivas som 6u+3 där u är ett heltal:
36k^2 + 36k + 9 = (36k^2 + 36k + 6) + 3 = 6(6k^2 + 6k + 1) + 3 = 6u + 3,
där u = 6k^2 + 6k + 1. Och u är verkligen ett heltal (se ovan).

Nu har vi visat följande:
Om a är ett högintressant tal, så är även a^2 ett högintressant tal.