definiera polynomet p(x)=3x3−5x2−17x−5 för reella tal x.
Definiera polynomet p(x)=3x3−5x2−17x−5 för reella tal x.
a) Bestäm rötterna till p(x)=0. Ekvationen har en rationell rot, finn denna med lärobokens metodik. Vid polynomdivision behöver du inte visa alla steg, det räcker att du anger kvot och rest. I denna inlämningsuppgift får du inte använda pq-formeln (eller annan formel).
b) Polynomfaktorisera p(x). Du ska således skriva p(x) som en produkt av polynom av så låg grad som möjligt.
Med hjälp av wolframalpha har jag lyckats hitta 3 rötterna x=-1/3, x=1−6‾√, x=1+6‾√, men jag vet ej hur jag ska hitta lösningen för detta.
Det verkar som att det är en specifik metod de vill att ni ska använda. Kommer inte ihåg själv vad det kan vara för någon metod, har du ett namn på den?
Det är satsen om rationella rötter som ska användas.
På engelska kallas den rational root theorem.
Läckert, vettefasen om vi gick igenom den där när jag gick i skolan. simon95, engelska wikipedia-sidan för "rational root theorem" visar hur man hittar potentiella rötter till en tredjegradare, så de stegen borde ge dig bra tips.
Yngve, är det inte lite underligt ändå att de i uppgiften pratar om polynomdivision? Ser inte varför man skulle behöva det i (a)-uppgiften.
foppa skrev :Läckert, vettefasen om vi gick igenom den där när jag gick i skolan.
Jag var nog också sjuk den dagen 😉
...
Yngve, är det inte lite underligt ändå att de i uppgiften pratar om polynomdivision? Ser inte varför man skulle behöva det i (a)-uppgiften.
Uppgiften gäller att bestämma alla tre rötterna. Om du har gissat en rot så måste du ju fortfarande bestämma de övriga två. Då är polynomdivisionen ett naturligt nästa steg.
tydligen var jag helt ute och cyklade haha och fick till svars av läraren "Läs noga instruktionerna till uppgiften - du ska hitta den första roten (som är rationell) med hjälp av en sats ur boken."
hittade detta förslag i boken, någon som kan hjälpa mig med A och B frågan som jag nämnde först :)
Sats 7. L˚at f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · · + a1x + a0 vara ett polynom med heltalskoefficienter.
Om p/q ¨ar en rot till f(x), d¨ar p/q ¨ar f¨orkortat s˚a l˚angt som m¨ojligt, s˚a m˚aste p vara en faktor i
a0 och q en faktor i an.
Vi utel¨amnar beviset, men det utf¨ors i princip p˚a samma s¨attt som vi resonerade i exemplet
tidigare.
Exempel 2.16. L˚at f(x) = x
3+x
2+x+ 1. Finn alla rationella l¨osningar till ekvationen f(x) = 0.
L¨osningsf¨orslag: Om polynomet har en rationell rot p/q, maximalt f¨orkortad, s˚a m˚aste det g¨alla
att q ¨ar en faktor till koefficienten framf¨or x
3
(som ¨ar 1) och att p ¨ar en faktor till den konstanta
termen (som ocks˚a ¨ar 1). Allts˚a ¨ar de enda m¨ojliga l¨osningarna
(−1)/(−1) = 1/1 = 1 och 1/(−1) = (−1)/1 = −1.
41
Ins¨attning ger
f(1) = 13 + 12 + 1 + 1 6= 0
och
f(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = 0.
Allts˚a ¨ar −1 den enda rationella roten till polynomet f(x).
detta har jag svarat på A nu...Om vi tittar på p(x)=$3x^{3}$-$5x^{2}$-17x-5. Om p/q är en förkortad rationell rot gäller p|5 och q|3. Detta ger oss att p= +-1, +-5 och q= +-1, +-3. Så de möjliga rationella rötterna är -1, 1, -1/3, 1/3, -5, 5, -5/3, 5/3. Sen sätter jag in dessa en efter en i ekvationen och ser vilken av dessa tal där ekvationen blir 0. Efter prövning ser jag att den enda rationella roten är (-1/3). 3*(-1/3)^3-5*(-1/3)^2-17*(-1/3)-5=0.
men har dock B kvar..
simon95 skrev :detta har jag svarat på A nu...Om vi tittar på p(x)=$3x^{3}$-$5x^{2}$-17x-5. Om p/q är en förkortad rationell rot gäller p|5 och q|3. Detta ger oss att p= +-1, +-5 och q= +-1, +-3. Så de möjliga rationella rötterna är -1, 1, -1/3, 1/3, -5, 5, -5/3, 5/3. Sen sätter jag in dessa en efter en i ekvationen och ser vilken av dessa tal där ekvationen blir 0. Efter prövning ser jag att den enda rationella roten är (-1/3). 3*(-1/3)^3-5*(-1/3)^2-17*(-1/3)-5=0.
men har dock B kvar..
Du är inte klar med a-uppgiften.
Du har hittat en rot, nämligen .
Men du ska även hitta de övriga två rötterna och .
När du har gjort det så kan du gå vidare till b-uppgiften.
Det gäller då att , och är faktorer i , dvs för någon konstant k.
Varför står det då att det är en rationell rot och att jag ska finna den?
simon95 skrev :Varför står det då att det är en rationell rot och att jag ska finna den?
Kanske som hjälp på traven.
Det står att du ska bestämma rötterna, vilket innebär alla rötter.
Jag har skrivit däruppe ”så de möjliga rationella rötterna är”. Rättningen kom och jag hade rätt, tack ändå för att du gjorde ditt bästa :)
