Def- o Målmängd, samt om den är injektiv/surjektiv.

Hej,

Sitter o funderar lite på en uppgift, men känner mig lite osäker...

f:ℝ→[−12,∞ ] enligt f(x)=−(5cos(πx))/2−7, och g:ℝ→ℝ enligt g(x)=7x2 . Studera den sammansatta funktionen h av f och g, vilken uppfyller h(x)=f(g(x)) för alla x i dess definitionsmängd

1) Skriv ut definitionsmängden och målmängden för h.

2) Är h en surjektiv funktion? Om ja, ge ett bevis; om nej, ge ett motexempel.

Så här tänker jag:

1) Först utgår vi från att "h" måste ha en visst input så kommer även "g" behöva göra/ha det. h(x) har en definitionsmängd "R" och målmängden "R". Detta eftersom:
f:R−>[−12,∞]
g:R−>R
Varpå: h:R−>R−>R

2) Ja, den är surjektiv. Varje element i en surjektivsfunktionsmängd måste vara ett funktionsvärde i delmängden. Vi kan i uppgiften se att flera värden av "x" kommer att ge samma utfall, eller ett eget utfall inom värdemängden.
Exempelvis:
h(3)=-7
h(5)=-7
Detta eftersom det är flera heltal som inte är inkluderade för olika värden av h(x). Detta ger då att 3≠5 men h(3)=h(5)

__________________________________________________________________
Tänker jag helt åt fanders?
Uppskattar all hjälp eller input jag kan få!

Må så väl.
Mvh

Surjektiv och injektiv ingår inte i kursen Ma4. Jag flyttar tråden till universietsmatte. Se till att lägga din tråd på rätt ställe i fortsättningen! /moderator

1) Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.

2) Här måste du visa, eller motbevisa, att varje värde i målmängden är bilden av åtminstone ett värde i definitionsmängden.

PATENTERAMERA skrev:
Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.
I 2) verkar du blanda i hop injektiv och surjektiv.

Så du menar:

1) g:R->R
f:R−>[−12,∞]
Varpå : R->[−12,∞]

2) Ja, det kanske jag gör? Kanske ska man säga att den varken är surjektiv eller injektiv, för att värdemängden inte är lika med målmängden och att den är injektiv för att R innehåller negativa tal. Och att den kräver att fler än ett tal i definitionsmängden, för h, inte kan ha eller ge samma funktionsvärde.

Anonymus skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.
I 2) verkar du blanda i hop injektiv och surjektiv.
Så du menar:
1) att h(x)=f(g(x))
Så att:
g:R->R
f:R−>[−12,∞]
Varpå h: R->[−12,∞]
2) Ja, det kanske jag gör? Kanske ska man säga att den varken är surjektiv eller injektiv, för att värdemängden inte är lika med målmängden och att den är injektiv för att R innehåller negativa tal. Dvs den kräver att fler än ett tal i definitionsmängden, för h, inte kan ha eller ge samma funktionsvärde.

1) Precis.

2) Visa att det finns ett värde y i målmängden sådant att det inte existerar ett värde x i definitionsmängden sådant att f(h(x)) = y. Då kan funktionen inte vara surjektiv.

PATENTERAMERA skrev:
Anonymus skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.
I 2) verkar du blanda i hop injektiv och surjektiv.
Så du menar:
1) att h(x)=f(g(x))
Så att:
g:R->R
f:R−>[−12,∞]
Varpå h: R->[−12,∞]
2) Ja, det kanske jag gör? Kanske ska man säga att den varken är surjektiv eller injektiv, för att värdemängden inte är lika med målmängden och att den är injektiv för att R innehåller negativa tal. Dvs den kräver att fler än ett tal i definitionsmängden, för h, inte kan ha eller ge samma funktionsvärde.
1) Precis.
2) Visa att det finns ett värde y i målmängden sådant att det inte existerar ett värde x i definitionsmängden sådant att f(h(x)) = y. Då kan funktionen inte vara surjektiv.

Ja, jag tänker så här:

En funktion är surjektiv om och endast om målmängden och värdemängden är samma!
Genom definition så är värdemängden en delmängd i målmängden.

Detta har jag räknat ut:

Enhetscirkeln ger att cos funktionen kan bara anta ett värde -1<cos(x)<1
då cos(x) = -1 ==> h = -5*(-1)/2 -7 = 5/2 - 7 = -9/2
På samma sätt då cos(x) = 1 ==> h = -5*1/2 -7 = -5/2 -7 = -19/2
Detta ger att värdemängden enbart kan vara mellan -9/2 och -19/2.
Så jag har testat:

h(-2)=-4,5
h(-4)=-9,5
h(6)=-4,5
h(7)=-7

Där h(x) = värdemängd

För alla X i definitionsmängden, som är -12 till oändligheten.

Men jag förstår inte vad du menar med: Visa att det finns ett värde y i målmängden sådant att det inte existerar ett värde x i definitionsmängden sådant att f(h(x)) = y. Då kan funktionen inte vara surjektiv.

Mvh

PATENTERAMERA skrev:
Anonymus skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.
I 2) verkar du blanda i hop injektiv och surjektiv.
Så du menar:
1) att h(x)=f(g(x))
Så att:
g:R->R
f:R−>[−12,∞]
Varpå h: R->[−12,∞]
2) Ja, det kanske jag gör? Kanske ska man säga att den varken är surjektiv eller injektiv, för att värdemängden inte är lika med målmängden och att den är injektiv för att R innehåller negativa tal. Dvs den kräver att fler än ett tal i definitionsmängden, för h, inte kan ha eller ge samma funktionsvärde.
1) Precis.
2) Visa att det finns ett värde y i målmängden sådant att det inte existerar ett värde x i definitionsmängden sådant att f(h(x)) = y. Då kan funktionen inte vara surjektiv.

1) f:R−>[−12,∞]
g:R−>R
Varpå målmängden är: h:R−>[−12,∞]

2) Funktionen kan inte vara surjektiv. Detta eftersom målmängden definieras som h:R−>[−12,∞] och värdemängden, som är en del av målmängden, är [−4.5, −9.5] För att en funktion ska vara surjektiv så krävs det att målmängden och är värdemängden är samma!

Ursäkta att jag "bombar" med svar (men jag vill inte ändra för mycket på ett tidigare inlägg) men detta är vad jag tänker mig i korta drag.

Ursäkta att jag "bombar" med svar (men jag vill inte ändra för mycket på ett tidigare inlägg) men detta är vad jag tänker mig i korta drag.

Nej, det är inte OK att spamma så här - ändra ditt tidigare inlägg istället! Bry dig inte om det den här gången, men tänk på det i fortsättningen. /moderator

Anonymus skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Anonymus skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Om g: A $\to$ B och f: B $\to$ C, så gäller att f $\circ$ g: A $\to$ C.
I 2) verkar du blanda i hop injektiv och surjektiv.
Så du menar:
1) att h(x)=f(g(x))
Så att:
g:R->R
f:R−>[−12,∞]
Varpå h: R->[−12,∞]
2) Ja, det kanske jag gör? Kanske ska man säga att den varken är surjektiv eller injektiv, för att värdemängden inte är lika med målmängden och att den är injektiv för att R innehåller negativa tal. Dvs den kräver att fler än ett tal i definitionsmängden, för h, inte kan ha eller ge samma funktionsvärde.
1) Precis.
2) Visa att det finns ett värde y i målmängden sådant att det inte existerar ett värde x i definitionsmängden sådant att f(h(x)) = y. Då kan funktionen inte vara surjektiv.
1) f:R−>[−12,∞]
g:R−>R
Varpå målmängden är: h:R−>[−12,∞]
2) Funktionen kan inte vara surjektiv. Detta eftersom målmängden definieras som h:R−>[−12,∞] och värdemängden, som är en del av målmängden, är [−4.5, −9.5] För att en funktion ska vara surjektiv så krävs det att målmängden och är värdemängden är samma!
Ursäkta att jag "bombar" med svar (men jag vill inte ändra för mycket på ett tidigare inlägg) men detta är vad jag tänker mig i korta drag.

1) målmängden är [-12, $\infty$ ]. F: A -> B läses så att F är en funktion från A till B, dvs F har definitionsmängd A och målmängd B.

2) Samma kommentar på notation som under 1). Värdemängden = [-9.5, -4.5].

[-4.5, -9.5] = $\emptyset$

Svara

Visa senaste svar