Decimalutveckling
Hej!
Uppgiften lyder:
De tänker alltså inte på att 1/2 faktiskt är lika med 0,5 och därmed upprepas inget ??
Jo, de tänker på att 1/2 = 0,500000... = 0,49999... vilka båda upprepas.
smaragdalena skrev :Jo, de tänker på att 1/2 = 0,500000... = 0,49999... vilka båda upprepas.
1. Är inte nollorna i 0,500000... bara att visa hur många gällande siffror man har med. Men Egentligen så blir ju 1/2 = 0,5 om man inte har något mätetal (När man bara räknar ett tal utan något sammanhang så svarar man bara med 0,5 väl?) ?
2. Hur kan 1/2 bli lika med 0,4999999 ... ??
3. Om jag nu ska bevisa det, räcker det med att välja några exempel på bråk som "förenklas" eller finns det något algebraiskt?
1. Alla tre sätten besktriver samma tal, liksom bl a 1/2, 2/4 och 3/6.
2) På precis samma sätt som 1,0000... = 0,999...
3. Du bör kunna bevisa det, inte bara ge exempel. Om du t ex har ett bråk med 7 i nämnaren, hur många olika rester kan det bli ?
smaragdalena skrev :
3. Du bör kunna bevisa det, inte bara ge exempel. Om du t ex har ett bråk med 7 i nämnaren, hur många olika rester kan det bli ?
Alla tal som ej är delbara med 7 får ju olika rester (oändligt många?). Finns det ett sätt att bevisa det algebraiskt?
Då uttryckte jag mig dåligt. När du håller på och dividerar ett tal med 7, hur många olika värden kan det bli på nästa siffra?
smaragdalena skrev :Då uttryckte jag mig dåligt. När du håller på och dividerar ett tal med 7, hur många olika värden kan det bli på nästa siffra?
Det kan väl bli 0 till 9, alltså 10 olika värden. Men då har ju 7 ingenting med saken att göra utan det kunde ha varit vilket annat tal som helst i nämnaren?
Nrj, det blev inte heller vad jag ville ha sagt. Vet du hur divisionsalgoritmen fungererar? Säg att du har ett fyrsiffrigt tal i täljaren. Du börjar med att dela hundratalssiffran med 7. Då får du en rest, som du sedan kombinerar med hundratalssiffran. Sedan delar du detta tvåsiffriga tal med 7 och får en ny rest, som du kombinerar med tiotalssiffran. Detta tvåsiffriga tal dividerar du med 7 och får en ny rest, som du ... och så vidare (om det inte går jämnt ut, får man fortsätta efter kommat). Det är denna rest jag är ute efter. Vilka olika värden kan den ha?
smaragdalena skrev :Nrj, det blev inte heller vad jag ville ha sagt. Vet du hur divisionsalgoritmen fungererar? Säg att du har ett fyrsiffrigt tal i täljaren. Du börjar med att dela hundratalssiffran med 7. Då får du en rest, som du sedan kombinerar med hundratalssiffran. Sedan delar du detta tvåsiffriga tal med 7 och får en ny rest, som du kombinerar med tiotalssiffran. Detta tvåsiffriga tal dividerar du med 7 och får en ny rest, som du ... och så vidare (om det inte går jämnt ut, får man fortsätta efter kommat). Det är denna rest jag är ute efter. Vilka olika värden kan den ha?
resten borde vara ett naturligt tal större än noll men mindre än nämnaren
Jag ser dock inte hur det ska hjälpa mig med att visa decimalfrekvenser
Nej, det är bara en siffra som du "flyttar ner". Vilka siffror är möjliga?
Svar på frågan
2. Hur kan 1/2 bli lika med 0,4999999 ... ??
smaragdalena skrev :Nej, det är bara en siffra som du "flyttar ner". Vilka siffror är möjliga?
ja, det borde var EN SIFFRA som är större än 0 men mindre än 7??
Det stämmer. Om vi bara tittar på den delen av divisionen som hamnar "efter kommat", så är det ju hela tiden en nolla man flyttar ner (om vi hade en kvot mellan ett heltal och 7 från början). Om resten t ex var 3, blir det ju 30 i nästa steg, och resten då blir 2 (eftersom 30-28=2), resten efter det blir 6 (20-14=6), 4(60-56=4), 5 (40-35=5), 1 (50-49=1), 3 (10-7=3) och så upprepas siffrorna 326451326451... hela tiden. Det är ju bara om det går jämnt upp som resten blir 0, så det händer inte när det är periodiskt. Börjar vi med en annan rest än 3 får vi precis samma periodiska sekvens, men den börjar på någon annan av siffrorna.
smaragdalena skrev :Det stämmer. Om vi bara tittar på den delen av divisionen som hamnar "efter kommat", så är det ju hela tiden en nolla man flyttar ner (om vi hade en kvot mellan ett heltal och 7 från början). Om resten t ex var 3, blir det ju 30 i nästa steg, och resten då blir 2 (eftersom 30-28=2), resten efter det blir 6 (20-14=6), 4(60-56=4), 5 (40-35=5), 1 (50-49=1), 3 (10-7=3) och så upprepas siffrorna 326451326451... hela tiden. Det är ju bara om det går jämnt upp som resten blir 0, så det händer inte när det är periodiskt. Börjar vi med en annan rest än 3 får vi precis samma periodiska sekvens, men den börjar på någon annan av siffrorna.
Jag tror att jag förstår nu ATT DET GÄLLER FÖR ALLA BRÅK, men hur kan man bevisa och uttrycka algebraiskt ALLA de olika sekvenserna man får beroende på täljaren och nämnare??
I uppgiften stod det faktiskt "visa", inte "bevisa", så det räcker nog med ett exempel och ett resonemang utan att göra något strikt bevis.
I matematiken brukar "visa" betyda "bevisa". Men ofta kan beviset bestå av ett exempel följt av ett resonemang om att exemplet generaliserar till det allmänna fallet. Sjundedelsexemplet generaliserar till godtycklig nämnare så saken är klar.
smaragdalena skrev :1. Alla tre sätten besktriver samma tal, liksom bl a 1/2, 2/4 och 3/6.
2) På precis samma sätt som 1,0000... = 0,999...
3. Du bör kunna bevisa det, inte bara ge exempel. Om du t ex har ett bråk med 7 i nämnaren, hur många olika rester kan det bli ?
Hur bevisar man det rent algebraiskt?
Kombinatorik skrev :smaragdalena skrev :1. Alla tre sätten besktriver samma tal, liksom bl a 1/2, 2/4 och 3/6.
2) På precis samma sätt som 1,0000... = 0,999...
3. Du bör kunna bevisa det, inte bara ge exempel. Om du t ex har ett bråk med 7 i nämnaren, hur många olika rester kan det bli ?
Hur bevisar man det rent algebraiskt?
Det där påståendet har jag ju tagit tillbaka, eftersom det stod "visa att" och inte "bevisa att". Jag är lad om jag slipper bevisa det algebraiskt, utan bara ungefär så som jag gjorde tidigare.
Du menar väl matematiskt när du skriver algebraiskt? Jag skulle börja med exemplet 7 och skriva
1/7=0,142857142857... Multiplikation med 10 ger 10/7=1 + 3/7=1,42857... så 3/7=0,428571... Multiplikation med 10 ger 30/7=4 + 2/7=4,2857142... så 2/7=0,2857132... Multiplikation med 10 ger 20/7=2 + 6/7=2,857142... så 6/7=0,8571428... osv. Vi får i tur och ordning bråken 1/7, 3/7, 2/7, 6/7, 4/7, 5/7, 1/7 och nu upprepar det sej. Eftersom det bara finns sex olika sjundedelsbråk mellan 0 och 1 måste det upprepa sej efter högst sex steg.
Om vi byter 7 mot talet n kommer det av samma orsak att upprepa sej efter högst n-1 steg. Alltså är 1/n periodiskt med en period på högst n-1.
Henrik Eriksson skrev :Du menar väl matematiskt när du skriver algebraiskt? Jag skulle börja med exemplet 7 och skriva
1/7=0,142857142857... Multiplikation med 10 ger 10/7=1 + 3/7=1,42857... så 3/7=0,428571... Multiplikation med 10 ger 30/7=4 + 2/7=4,2857142... så 2/7=0,2857132... Multiplikation med 10 ger 20/7=2 + 6/7=2,857142... så 6/7=0,8571428... osv. Vi får i tur och ordning bråken 1/7, 3/7, 2/7, 6/7, 4/7, 5/7, 1/7 och nu upprepar det sej. Eftersom det bara finns sex olika sjundedelsbråk mellan 0 och 1 måste det upprepa sej efter högst sex steg.
Om vi byter 7 mot talet n kommer det av samma orsak att upprepa sej efter högst n-1 steg. Alltså är 1/n periodiskt med en period på högst n-1.
1. Varför ska man multiplicera med 10?
2. Skulle man inte visa att i decimalutvecklingen av ett bråk kommer en grupp av decimaler att upprepa sig? I så fall varför ska man då se ett mönster mellan bråk med samma nämnare?
3. Det ser ut som att man bara ska ge många exempel och markera var decimalutvecklingen sker, eller har jag förstått fel?
1 För att man vill räkna ut decimalerna.
2 Om bråken upprepar sej gör decimalerna det också.
3 Man visar med ett exempel och motiverar sedan varför exemplet generaliserar till godtyckligt n.
För att jag har i allmänhet lättare att förstå algebra undrar jag om det finns ett strikt algebraisk lösning så att man slipper massa ord? I så fall hur gör man det (utan att undersöka hundratals exempel)?
Kan man inte utgå från de rationella talen Q som defineras på följande sätt:
där de varje heltal består av oändligt många nollor efter decimaltecknet?
Aha, när du skriver "algebraisk" menar du "utan ord", rätt uppfattat? Det var en intressant utmaning. Man framställer ju helst ett matematiskt resonemang så lättförståeligt som möjligt. Alla människor (även du) måste ha lättare att först förstå ett exempel (inte hundratals!) innan man ger sej på det allmänna fallet. Om man inte vill göra sitt resonemang så lättbegripligt kan man förstås gå direkt på det allmänna fallet. Något sånt här kanske.
Låt 0<p<q vara heltal. Definiera p_i=10^i*p mod q så att p_0=p och 0<p_i<q. Varje p_i är något av talen 1,2,...,q-1. Men då kan inte alla p_i vara olika. Vi har alltså p_j=p_k med j<k. Då måste även p_{j+1}=p_{k+1} osv, så följden är periodisk. Decimalerna på (p/q)*10^j är alltså samma som decimalerna på (p/q)*10^k så decimalutvecklingen är periodisk med perioden k-j.
