Decimaltal i exponenten

Så länge exponenten är ett rationellt tal kan du alltid skriva om den som ett bråktal.

Exempelvis kan du skriva $0,61$ som $\frac{61}{100}$ och då kan uttrycket skrivas $6^{\frac{61}{100}}$, dvs $6^{61\cdot\frac{1}{100}}$, vilket med hjälp av en potenslag kan skrivas $(6^{61})^{\frac{1}{100}}$, vilket kan skrivas $\sqrt[100]{6^{61}}$.

Uttrycket kan alltså tolkas som "hundraderoten ur (6 upphöjt till 61)".

Okej! Märkte att jag måste ta hundraderoten ur 6 och den höja till 61 för att få rätt. 6 upphöjt till 61 och sedan roten ur blev fel.

Om man vill komma tillbaka till 6 ifrån värdet man får då, hur ska man bete sig då? Kanske det man har logaritmer till.

Edit: Skrev fel på räknaren gällande det första 

Menar du ekvationen:

$x^{0.61}=3$ ?

$x=3^{100/61}=\sqrt[61]{3^{100}}=...$

Dkcre skrev:

Okej! Märkte att jag måste ta hundraderoten ur 6 och den höja till 61 för att få rätt. 6 upphöjt till 61 och sedan roten ur blev fel.

Om man vill komma tillbaka till 6 ifrån värdet man får då, hur ska man bete sig då? Kanske det man har logaritmer till.

Hur lyder uppgiften?

Jag frågar bara lite rent allmänt. Sökte och Försökte förstå talet ’e’, och snubblade över detta på vägen. Så märkte lite luckor i min kunskap.

tomast80 skrev:

Menar du ekvationen:

$x^{0.61}=3$ ?

$x=3^{100/61}=\sqrt[61]{3^{100}}=...$

Ja, tack så mycket.

Dkcre skrev:

Ja, tack så mycket.

OK då förstår jag. Jag trodde att du undrade över hur man skulle förstå uttrycket 6^0,61.

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Ja, tack så mycket.

OK då förstår jag. Jag trodde du undrade över hur man skulle förstå uttrycket 6^0,61.

Absolut, det också.

Tack så mycket för hjälpen. 

Ja, eller decimaltal som potens överhuvudtaget egentligen. 

Dkcre skrev:

Ja, eller decimaltal som potens överhuvudtaget egentligen. 

OK, det var precis det jag försökte visa i mitt första svar.

Bra fråga! Precis som redan har konstaterats börjar man med följande definition:

Definition 1. Låt $a>0$, och låt $n$ vara ett positivt heltal. Då definieras $a^{1/n}$ som det positiva tal som upphöjt till $n$ blir $a$. (Annorlunda uttryckt: $a^{1/n}$ är den positiva lösningen till ekvationen $x^n=a$.)

Med den definitionen på plats kan vi gå vidare med följande definition:

Definition 2. Låt $a>0$, och låt $m$ och $n$ vara positiva heltal. Då definieras $a^{m/n}$ som $(a^{1/n})^m$.

Utifrån de här definitionerna kan vi bevisa följande lilla sats, som ger ett alternativt sätt att beräkna $a^{m/n}$, och som redan har utnyttjats lite implicit i tråden.

Sats. Låt $a>0$, och låt $m$ och $n$ vara positiva heltal. Då är $a^{m/n}=(a^m)^{1/n}$.

Formellt bevis (kanske lite överkurs i Matte 2). Enligt Definition 2 så är $a^{m/n}=(a^{1/n})^m$, och enligt Definition 1 så är $(a^m)^{1/n}$ det positiva tal som upphöjt till $n$ blir $a^m$. Låt oss därför testa att upphöja $(a^{1/n})^m$ till $n$ och se vad som händer! Om vi använder potenslagarna (för heltalsexponenter) så får vi mycket riktigt

   $((a^{1/n})^m)^n=(a^{1/n})^{mn}=((a^{1/n})^{n})^m=a^m,$

där vi i sista likheten utnyttjade att $(a^{1/n})^n=a$ enligt Definition 1. Viket skulle bevisas!

Med detta på plats kan vi sedan gå vidare och definiera $a^x$ för reella exponenter $x$ med hjälp av gränsvärden. Till exempel kan vi definiera $a^\pi$ som gränsvärdet av följden

   $a^3,\quad a^{31/10},\quad a^{314/100},\quad a^{3141/1000},\quad a^{31415/10000},\quad \ldots$