De två rätvinkliga trianglarna i figuren har samma omkrets. Bestäm vinkeln α.

Välkommen till Pluggakuten!

Enligt definitionerna av begreppen sinus och cosinus och tangens för vinklar i rätvinkliga trianglar kan man notera följande saker i figuren.

• Den nedre rätvinkliga triangeln har hypotenusan $1$ och kateterna $\sin 30^\circ$ och $\cos 30^\circ$.
• Den övre rätvinkliga triangeln har kateterna $1$ och $\tan \alpha.$ Hypotenusans längd är $1/\cos \alpha.$

Välkommen till Pluggakuten!

Kan du rotera bilden, så att man kan se vad där står utan att man behöver slå knut på sig? /moderator

Du har rätt i att den nedre triangeln är en standardtriangel. Hur stor omkrets har triangeln?

Låt den korta sidan i den övre triangeln ha längden x. Använd Pythagoras sats för att beräkna hypotenusan. Hur stor omkrets har trianglen?

Du vet att de båda trianglarna har lika stor omkrets. Hur lång är den korta sidan respektive hypotenusan i den övre triangeln?

(Du bör ha stor nytta av det som står inom parentes i uppgiften, annars skulle det nog bli svårt.)

Hej och välkommen till pluggakuten!

Nyckeln till att lösa problemet är som de andra sagt informationen att omkretsen är lika hos de två trianglarna.

Vi kan snabbt se att sidorna på den kända triangeln är $\sin \left(30\right)=\frac{1}{2 }$ vilket är sidan mellan 90 och 60 grader på den vänstra triangeln. Vi vet så klart också sidan mellan 30 och 90 grader på vänstra triangeln $\cos \left(30\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Addera ihop allt och få $1+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

Nu den andra triangeln.  Kallan okända kateten A och okända hypotenusan B, $\cos \left(a\right)=\frac{1}{B}\iff B=\frac{1}{\cos \left(a\right)}$ och $\tan \left(a\right)=\frac{A}{1}\iff A=\tan \left(a\right)$. 

B+A+1=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}\iff \frac{1}{\cos \left(a\right)}+\tan \left(a\right)+1\iff \frac{1}{\cos \left(a\right)}+\tan \left(a\right)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ Sen kan man lösa den med trigonomiska ettan eller annan valfri metod, jag fick a=0.30696 radianer 

Hej!

• Den övre triangeln har omkretsen

        $f(\alpha) = 1+\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}\ , \quad 0 < \alpha=""><>$

• Den undre triangeln har omkretsen $1 + \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Du vill finna alla vinklar ($\alpha$) som är sådana att

    $f(\alpha) = 1+\frac{1+\sqrt{3}}{2} \iff \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Ekvationen som ska lösas kan skrivas med hjälp av Additionssatsen för sinusfunktionen.

    $2 = -2 \sin \alpha + (1+\sqrt{3})\cos \alpha \iff 2 = A \sin(\alpha + v)$ där 

$A = 2\sqrt{2+0.5\sqrt{3}}$ och $\tan v = \frac{-(1+\sqrt{3})}{2}$.

Vinklarna $\alpha + v$ har tydligen sinusvärden som är lika med $1/\sqrt{2+0.5\sqrt{3}}$ .

Albiki skrev:

Hej!

• Den övre triangeln har omkretsen

        $f(\alpha) = 1+\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}\ , \quad 0 < \alpha=""><>$

• Den undre triangeln har omkretsen $1 + \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

Du vill finna alla vinklar ($\alpha$) som är sådana att

    $f(\alpha) = 1+\frac{1+\sqrt{3}}{2} \iff \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

 Precis vad jag menade, men mycket bättre uttryckt och förklarat!

Tack allihopa. Lyckades äntligen lösa den med er hjälp, ha en fortsatt trevlig kväll och tusen tack för hjälpen!