De punkter som uppfyller olikheten (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

le chat skrev:
Jag känner mig lite förvirrand kring frågan men jag tänkte att man kunde rita upp de separat eftersom avståndet får vara 3 och 4.
Tack på förhand!

Bra blrjan!

Vi börjar med a-uppgiften..Du har ritat två cirklar i det komplexa talplanet. Vilket samband gäller för de punkter som ligger på den mindre cirkeln? På den större cirkeln?

Hos den första cirkeln är avståndet 3 dvs att radien är 3 och hos den andra cirkeln är radien 4.

le chat skrev:
Hos den första cirkeln är avståndet 3 dvs att radien är 3 och hos den andra cirkeln är radien 4.

Kan du uttrycka det med hjälp av ett matematiskt samband?

le chat skrev:

Du svarade inte på frågan men det verkar som om du är på väg mot lösningen ändå.

Kan du skugga det/de område/n som uppfyller det givna villkoret?

Yngve skrev:
le chat skrev:
Hos den första cirkeln är avståndet 3 dvs att radien är 3 och hos den andra cirkeln är radien 4.
Kan du uttrycka det med hjälp av ett matematiskt samband?

Jag gissar på att det matematiska sambandet är olikheten hos fråga a.

Jag skulle säga att man skuggar hela cirkeln eftersom z är ju alla tal vars radie är 3 eller 4.

le chat skrev:
Yngve skrev:
le chat skrev:
Hos den första cirkeln är avståndet 3 dvs att radien är 3 och hos den andra cirkeln är radien 4.
Kan du uttrycka det med hjälp av ett matematiskt samband?
Jag gissar på att det matematiska sambandet är olikheten hos fråga a.

$3\leq |z|\leq 4$ är två samband.

Vi säger så här: Alla punkter på (periferin av) cirkeln med radie 3 uppfyller sambandet $|z|=3$ .

Vilket samband uppfyller de punkter som ligger på (periferin av) cirkeln med radie 4?

Jag skulle säga att man skuggar hela cirkeln eftersom z är ju alla tal vars radie är 3 eller 4.

Vilken cirkel? Du har ju två cirklar.

Yngve skrev:
le chat skrev:
Yngve skrev:
le chat skrev:
Hos den första cirkeln är avståndet 3 dvs att radien är 3 och hos den andra cirkeln är radien 4.
Kan du uttrycka det med hjälp av ett matematiskt samband?
Jag gissar på att det matematiska sambandet är olikheten hos fråga a.
$3\leq |z|\leq 4$ är två samband.
Vi säger så här: Alla punkter på (periferin av) cirkeln med radie 3 uppfyller sambandet $|z|=3$ .
Vilket samband uppfyller de punkter som ligger på (periferin av) cirkeln med radie 4?
Jag skulle säga att man skuggar hela cirkeln eftersom z är ju alla tal vars radie är 3 eller 4.
Vilken cirkel? Du har ju två cirklar.

Jaha, så om jag skuggar cirkeln i mitten så uppfyller den endast |z| = 3 och jag kan inte skugga hela cirkeln inklusivt |z| = 3 och |z| = 4 eftersom jag har två cirklar. Suddar jag ut cirkeln i mitten och därefter skuggar så uppfyller den endast |z| = 4.

le chat skrev:
Jaha, så om jag skuggar cirkeln i mitten så uppfyller den endast |z| = 3 och jag kan inte skugga hela cirkeln inklusivt |z| = 3 och |z| = 4 eftersom jag har två cirklar. Suddar jag ut cirkeln i mitten och därefter skuggar så uppfyller den endast |z| = 4.

Nej. Jag tror att vi måste klargöra två saker.

1. Absolutbeloppet av komplexa tal.

För ett komplext tal $z$ gäller att $|z|$ är lika med avståndet från $z$ till origo.

Om du skriver $z$ på rektangulär form, dvs $z=a+bi$ så är $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Om du ritar ett komplext tal $z$ , till ex $z=3+4i$ i det komplexa talplanet och ritar en rätvinklig triangel med ett hörn i origo, ett hörn i $3+4i$ och ett hörn i $3+0i$ så ser du att beräkningen av $|z|$ är en tillämpning av Pythagoras sats. $|3+4i|=\sqrt{3^2+4^2}$ .

Rita ett par komplexa tal och beräkna $|z|$ på det sättet för att övertyga dig om att det stämmer.

På samma sätt gäller att $|z-z_1|$ är lika med avståndet mellan $z$ och $z_1$ .

Om du skriver de två komplexa talen $z$ och $z_1$ på rektangulär form, dvs $z=a+bi$ och $z_1=a_1+b_1i$ så är $|z-z_1|=\sqrt{(a-a_1)^2+(b-b_1)^2}$ .

Detta eftersom $z-z_1=(a+bi)-(a_1+b_1i)=(a-a_1)+(b-b_1)i$ .

Om du ritar två komplexa tal, till exempel $z=2+6i$ och $z_1=1+2i$ i det komplexa talplanet och ritar en rätvinklig triangel med ett hörn i $z$ , ett hörn i $z_1$ och ett hörn i $2+2i$ så ser du att beräkningen av $|z-z_1|$ är en tillämpning av avståndsformeln.

2. Cirkel och cirkelskiva.

Egentligen är en cirkel en punktmängd där alla punkter har samma avstånd till en viss punkt (mittpunkten). Detta avstånd kallas radie. Det betyder att när man säger cirkel så borde man mena endast periferin (randen). En cirkel har alltså en viss längd ( $2\pi r$ ), nen ingen area.

Det område som är på och innanför randen heter egentligen cirkelskiva. En cirkelskiva består alltdå av alla de punkter som har ett avstånd till mittpunkten som är mindre än eller lika med ett visst avstånd (radien). En cirkelskiva har alltså ingen längd men en viss area ( $\pi r^2$ ).

I dagligt tal används ofta begreppet cirkel när det egentligen är cirkelskiva som avses. Oftast är det ingen risk för missförstånd, men just här är det viktigt att hålla isär begreopen.

--------

Med dessa två klargöranden kan vi förtydliga:

$|z|=3$ avser alla de punkter i det komplexa talplanet som ligger på avståndet 3 från origo, dvs alla de punkkter som ligger på den cirkel som har origo som mittpunkt och har radien 3.

$|z|\leq 3$ avser alla de punkter i det komplexa talplanet som ligger som längst på avståndet 3 från origo, dvs alla de punkkter som ligger i den cirkelskiva som har origo som mittpunkt och har radien 3.

Så det vi söker är alltså cirkelskivan dvs när alla punkter inom eller på cirkeln har en radie som är 3 eller större men att den högst tillåtna radien är 4?

le chat skrev:
Så det vi söker är alltså cirkelskivan dvs när alla punkter inom eller på cirkeln har en radie som är 3 eller större men att den högst tillåtna radien är 4?

Ja. Nu kan du skugga detta område och visa.