De moivres formel, vilken period

Hur var uppgiften formulerad? Lägg gärna in en bild (på rätt håll, tack!).

Är uppgiften att lösa ekvationen

$z^3= \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?

I så fall ska du hitta tre olika z.

argumentet för z^3 är inte 45 eftersom det ligger i tredje kvadranten. Således 225 grader. (Men använd inte grader utan använd radianer) 

Enklast använder du de Moivres formel

Ture skrev:

Är uppgiften att lösa ekvationen

$z^3= \frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$ ?

I så fall ska du hitta tre olika z.

argumentet för z^3 är inte 45 eftersom det ligger i tredje kvadranten. Således 225 grader. (Men använd inte grader utan använd radianer) 

Enklast använder du de Moivres formel

 ja, aha så arguementen för z är 45+3*pi, 45+6*pi och 45+8*pi. Sedan skriver jag de i polär form och sätter in först 45+3*pi. Sedan höjer jag i 3 och får en lösning, sedan lika med resterande så får jag de tre lösningarna?

Blanda inte grader och radianer, håll dig till radianer (som Ture skrev). 45 radianer är drygt 7 varv. 

Nej,

$z^3=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vilken kan skrivas i polära koordinater (beloppet z^3 = 1)

$z^3= 1*\left(\cos \right(arg(z^3)+2npi)-i\sin (arg(z^3)+2npi\left)\right)$

arg z^3 = 5pi/4

de tre lösningarna z1, z2 oxh z3 får du fram genom att ta tredjeroten ur beloppet dvs 1

och dela argumenten med 3 och sedan låta n vara 0,1 och 2.

Ture skrev:

Nej,

$z^3=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vilken kan skrivas i polära koordinater (beloppet z^3 = 1)

$z^3= 1*\left(\cos \right(arg(z^3)+2npi)-i\sin (arg(z^3)+2npi\left)\right)$

arg z^3 = 5pi/4

de tre lösningarna z1, z2 oxh z3 får du fram genom att ta tredjeroten ur beloppet dvs 1

och dela argumenten med 3 och sedan låta n vara 0,1 och 2.

 Okej, då är jag med på det. Som Smaragdalena skrev glömde jag göra om till radianer och kom på mig själv nu. Jag är inte helt med på vad som ska sättas in när jag skriver om till polärform. Det är alltså 5pi/4 eftersom det är första lösningen? 

Jag förstår inte vad du menar med att de tre lösningarna fås fram genom att ta tredjeroten ur absolutbeloppet och dela med tre och sedan låta n vara 0,1 och 2?

Brukar man ta fram alla lösningarna?

ursprungsekvationen är av grad 3 och sådana har alltid 3 lösningar. (ibland multipla rötter)

Vi vet att argumentet för z^3 = 5pi/4 + 2npi 

Argumentet för z är då 5pi/(4*3) +2npi/3 = pi(5/12 +2n/3) n = 0, 1 eller 2

Argumentet för z0 fås då n = 0, dvs 5pi/12

Argumentet för z1 fås då n 0 = 1 dvs pi(5/12+2/3) = pi(13/12)

Argumentet för z2 fås då n = 2 dvs pi(5/12 + 4/3) = pi(21/12)

alltså är z2 = 1(cos(pi*21/12)+isin(pi*21/12)

pss tar du fram z1 och z0

Ture skrev:

ursprungsekvationen är av grad 3 och sådana har alltid 3 lösningar. (ibland multipla rötter)

Vi vet att argumentet för z^3 = 5pi/4 + 2npi 

Argumentet för z är då 5pi/(4*3) +2npi/3 = pi(5/12 +2n/3) n = 0, 1 eller 2

Argumentet för z0 fås då n = 0, dvs 5pi/12

Argumentet för z1 fås då n 0 = 1 dvs pi(5/12+2/3) = pi(13/12)

Argumentet för z2 fås då n = 2 dvs pi(5/12 + 4/3) = pi(21/12)

alltså är z2 = 1(cos(pi*21/12)+isin(pi*21/12)

pss tar du fram z1 och z0

Okej, jag börjar hänga med litegrann. När ska jag ta fram alla rötter och inte? Om det tex är höjt 10 blir det väll lite jobbigt? De uppgifter jag har löst verkar bara behövts ett svar till. 

Varför dividerar du med 4*3 och sedan dividerar med 3?

Vad menar du med n= 0,1 eller 2?

Sedan tror jag att jag hänger med på resten.

lamayo skrev:

Ture skrev:

ursprungsekvationen är av grad 3 och sådana har alltid 3 lösningar. (ibland multipla rötter)

Vi vet att argumentet för z^3 = 5pi/4 + 2npi 

Argumentet för z är då 5pi/(4*3) +2npi/3 = pi(5/12 +2n/3) n = 0, 1 eller 2

Argumentet för z0 fås då n = 0, dvs 5pi/12

Argumentet för z1 fås då n 0 = 1 dvs pi(5/12+2/3) = pi(13/12)

Argumentet för z2 fås då n = 2 dvs pi(5/12 + 4/3) = pi(21/12)

alltså är z2 = 1(cos(pi*21/12)+isin(pi*21/12)

pss tar du fram z1 och z0

Okej, jag börjar hänga med litegrann. När ska jag ta fram alla rötter och inte? Om det tex är höjt 10 blir det väll lite jobbigt? De uppgifter jag har löst verkar bara behövts ett svar till. 

Varför dividerar du med 4*3 och sedan dividerar med 3?

Vad menar du med n= 0,1 eller 2?

Sedan tror jag att jag hänger med på resten.

Det bör framgå av uppgiften hur många rötter man ska ta fram. Normalt, om det bara står: Lös ekvationen... så ska man ta fram samtliga rötter.

Om det däremot står: Ta fram en rot... så räcker det med en, och javisst ska man ta fram 10 rötter om exponenten är 10 så visst blir det jobbigt. Men livet är inte alltid så enkelt.

Beträffande din fråga om division, så delar jag hela argumentet inkl periodiciteten med 3, eftersom det är en trea som exponent på z.

z^3 har i detta exempel argumentet 5pi/4 +2npi. delar vi hela argumentet med 3 blir det 5pi/(4*3) + 2npi/3

och eftersom det finns tre lösningar måste man sätta in tre olika värden på n för att få samtliga rötter, 0,1 och 2 är bra, sätter man in 3 kommer man ett helt varv framåt relativt n = 0, det blir alltså samma argument.

Rita en figur i det komplexa talplanet med de tre lösningarna så ser du att alla tre lösningarna ligger lika långt från varandra.

hur kan det vara 2npi? 

vart kommer 2an ifrån? borde det inte vara n*pi eftersom tangens har en period på pi. är det för att cos och sin har på 2pi?

Sin och cos har perioden 2pi, tangens har inget med detta att göra. (Tan har perioden pi)

Ture skrev:

Sin och cos har perioden 2pi, tangens har inget med detta att göra. (Tan har perioden pi)

 okej, tack för hjälpen!

Notera att  z^3 ligger i fjärde kvadranten vid 315 grader.