de Moivres formel (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Hur lyder de Moivres formel?

z^n=(r (cos v+i sin v))^n=r^n (cos nv+i sin nv)

svaret är:

64 (cos 180° + i sin 180°) = –64

Men fattar ej varför.

Vi tar ett steg i taget.

deMoivres formel är alltså ett behändigt sätt att beräkna en potens av ett komplext tal. I din uppgift vill du räkna ut potensen av $z^{6}$ där $z = \sqrt{3} - i$ . Hänger du med?

Yes

Men för att kunna använda deMoivres så måste du först skriva talet $\sqrt{3} - i$ på polär form. Kan du det?

Ja, jag fattar att jag ska ta absolutbeloppet av (roten ur 3 -i) som blir då =2

men jag fattar inte hur de räknade arg av (roten ur 3 -i) så att de fick =330

Det jag lärde mig med att räkna ut argumentet av z är att ta tan v b/a alltså motstående katet/närliggande katet. Men här tar de tvärtom och får då roten ur 3 som är 60 grader och sedan adderar med 270 från ingenstans och får 330??

Det verkar vara fel i facit eller hur? (eller också har du skrivit av uppgiften fel). I facit har de räknat $\sqrt{3} - 1 = 2 (\cos 30 ° + i \sin 30 °)$ . Kan du dubbelkolla om du skrivit av riktigt?

Nähh tror ej att det finns fel på facit eftersom han i videon ger samma svar.

https://www.youtube.com/watch?v=upbJ2AfXT3I&t=1s

Så står det på facit:

absolubeloppet =2,

arg √3-i =330°

√3 – i = 2 (cos 330° + i sin 330°)
(√3 – i)^6 =(2 (cos 330° + i sin 330°))^6 =
= 64 (cos 1 980° + i sin 1 980°) =
= 64(cos (1 980° – 5 · 360°) +
+ i sin (1 980° – 5 · 360°)
(√3 – i)^6 = 64 (cos 180° + i sin 180°) = –64

Jag förstår vad som förbryllar dig. Du förstår inte hur mannen i videon kan lägga till 270 grader. Men det är för att man för komplexa tal i polär form räknar vinkeln från x-axeln. Därför lägger han till tre kvadranter (=270 grader). Så mannen i youtube-videon räknar korrekt.

Det som jag tycker är fel, är det du skrev i ditt andra inlägg :

svaret är:

64 (cos 180° + i sin 180°) = –64

eftersom jag får svaret till 64 (cos (-180°) + i sin (-180°)) = –64.

Det vill säga $\sqrt{3} - i$ kan på polär form skrivas antingen $2 (\cos 330 ° + i \sin 330 °)$ som mannen i videon.

Det kan också skrivas $2 (\cos (- 30 °) + i \sin (- 30 °))$ . Men det kan inte skrivas $2 (\cos 30 ° + i \sin 30 °)$ som du skrev att det stod i facit, i ditt andra inlägg. Hänger du ed på vad jag försöker säga?

Hur fick du att det blir −30°?

A jag hänger med

JohanF skrev:
Det vill säga $\sqrt{3} - i$ kan på polär form skrivas antingen $2 (\cos 330 ° + i \sin 330 °)$ som mannen i videon.

Det kan också skrivas $2 (\cos (- 30 °) + i \sin (- 30 °))$ . Men det kan inte skrivas $2 (\cos 30 ° + i \sin 30 °)$ som du skrev att det stod i facit, i ditt andra inlägg. Hänger du ed på vad jag försöker säga?

ok. Nu när du skrivit hela facits uträkning så blir det riktigt. Facit är alltså också rätt. Men du kan använda antingen 330grader eller -30grader i den polära formen för talet.

(Det såg ut som att facit hade räknat vinkeln till 30grader när du bara klippte in sista delen av facit. Men de hade bara gjort en kringelikrokomväg)

Så du menar att man inte ska ta -1/√3 för att räkna tan v. Utan du menar att man ska räkna vinkeln från x-axeln i komplexa tal i polär form? Men frågan är, ska man alltid gör så, för ibland gör de inte så.

För till exempel i en annan fråga som är:

skriv z=-1-i√3 i polär form:

så tar de och räknar vinkeln tan v genom att ta √3/1.

Alltså här räkna de vinkeln inte vinkeln från bara x-axlen.

Vinkeln räknas från positiva x-axeln

https://www.matteboken.se/lektioner/matte-4/komplexa-tal/komplexa-tal-i-polar-form

Sedan kan man kan utnyttja de trigonometriska funktionernas periodicitet. Tex att

$\sin v = \sin (360 ° + v)$ , och motsvarande för cos och tan.

OK, nu förstår jag, tack för hjälpen Johan.