Dagens HP fråga 1 (Matematik/Högskoleprovet)

Kalla antal arbetare $A$ och totalt antal anställda $T$

Arbetarnas medellön $A_{ML}$ och tjänstemännens totala lön $T_{TL}$

Då är de anställdas medellön:

$(A \cdot A_{ML} + T_{TL})/T = 175000$

Vi vet att $A_{ML} = 163 000$ och $T_{TL} = 755 000$

Då är

$T = (A \cdot 163 + 755)/175$

Vi letar efter heltalslösningar där $T \geq A$ .

Man kan också se att medellönen för tjänstemännen måste vara högre än medellönen för arbetare (annars skulle inte medellönen för alla anställda vara högre än medellönen för arbetarna). Man kan också kontatera att det inte kan finnas fler än 4 tjänstemän, för då skulle medellönen för tjänstemännen bli lägre än medellönen på hela företaget.

Hej!

Bland företagets anställda är $A$ personer arbetare och $T$ personer tjänstemän. Medelinkomsten bland arbetarna är $a$ kronor per år och medelinkomsten bland tjänstemännen är $t$ kronor per år. Du får veta att medelinkomsten för företagets anställda är $175000$ kronor under ett år.

$\frac{a\cdot A + t\cdot T}{A+T} = 175000.$ (*)

Informationen 1 talar om för dig att $a = 163000$ kronor. Tillsammans med (*) räcker detta inte för att bestämma $A$ och $T.$
Informationen 2 talar om för dig att tjänstemännens sammanlagda inkomst är $t\cdot T = 755000$ kronor. Tillsammans med (*) räcker detta inte för att bestämma $A$ och $T.$

Om du kombinerar informationen i 1 och 2 med (*) så får du sambandet $163000A+755000 = 175000(A+T)$ , som är samma sak som sambandet

$755 = 12A+175T\ .$ (**)

Kravet är att $A$ och $T$ är positiva heltal. Primtalsfaktorisering av $12$ och $175$ och $755$ låter dig skriva sambandet (**) som

$5 \cdot 151 = 2^2 \cdot 3 \cdot A + 5^{2} \cdot 7 \cdot T\ .$

Antalet arbetare måste vara delbart med $5$ så $A = 5n$ vilket ger sambandet

$151 = 12n + 35T\ .$

Kravet att $0 < 12 n < 151$ ger $0 < n < 12$ och kravet att $0 < 35 T < 151$ ger $0 < T < 4.$

Om $T = 1$ blir $n = 9\frac{2}{3}$ som inte är ett heltal.

Om $T = 2$ blir $n = 6\frac{3}{4}$ som inte är ett heltal.

Om $T = 3$ blir $n = 3\frac{10}{12}$ som inte är ett heltal.

Slutsatsen är att den som skrev uppgiften inte tänkte på att antalet arbetare och antalet tjänstemän måste vara positiva heltal.

Albiki

Det finns ju dessutom fler än en rationell lösning, så det är svårt att förstå hur problemförfattaren tänkte.

Tack för alla svar! Måste skriva om det imorgon..

Albiki grävde ut inälvorna av problemet :)!! (hur säger man på svenska dig the shit out of...?)

Pi-streck: jo, jag tror att det är bara HP, problemen är inte så utsökta...

Hej!

Om uppgiftstexten hade varit följande så hade svarsalternativ C varit rätt.

De anställda i ett företag var antingen arbetare eller tjänstemän, och medelinkomsten för de anställda var ett visst år 175 tusen kronor. Hur många anställda hade företaget detta år?

1. Medelinkomsten för arbetarna var 163 tusen kronor.

2. Tjänstemännens sammanlagda inkomst var 705 tusen kronor.

Genom att kombinera informationen 1 och 2 kommer man fram till att företaget har 15 arbetare och 3 tjänstemän anställda det aktuella året.

Albiki

Nu är jag lite mer vaken. Det var ändå intressant, med tänke att det var en HP problem!

Jag övertydligar allt detta bara för mig själv nu, eftersom snart kommer att få amnesia på en liknande fråga...

Jag hade faktiskt lite frågor kvar om primtalfaktorisering men det har löst sig under omräkning.

Så med Albikis metod:

$A_{a} (a n t a l a r b e r t a r e) = v e t i n t e A_{m l} (m e d e l l ö n a r b e r t a r e) = 163 000 T_{a} (a n t a l t j ä n s t e m a n) = v e t i n t e T_{m l} (m e d e l l ö n t j ä n s t e m a n) = v e t i n t e T_{T l} (t o t a l l ö n t j ä n s t e m a n) = 705 000$

$\frac{A_{m l} \cdot 163 + 705}{A_{a} + T_{a}} = 175 A_{m l} \cdot 163 + 705 = 175 (A_{a} + T_{a}) 705 = 175 A_{a} - 163 A_{m l} + 175 T_{a} 705 = 12 A_{m l} + 175 T_{a}$

Som faktoriseras som:

$705 = 12 A_{m l} + 175 T_{a} 5 \cdot 3 \cdot 43 = 2^{2} \cdot 3 A_{m l} + 5^{2} \cdot 7 T_{a}$

Alla dessa personer måste vara heltal (arbetsproteser som följd av arbetskada avrundas till närmare personen...)

Och där skriver du:

Albiki skrev:
Antalet arbetare måste vara delbart med $5$ så $A = 5n$ vilket ger sambandet
$151 = 12n + 35T\ .$

Så vi förenklar hela uttryck med 5 och får:

$141 = 12 n + 35 T_{a}$

Där säger du:

Kravet att $0 < 12 n < 151$ ger $0 < n < 12$ och kravet att $0 < 35 T < 151$ ger $0 < T < 4.$

Detta hade jag svårt att inse, men nu är jag med och hittar mycket riktigt 15 arbetare och 3 tjänsteman.

Smaragdalena skrev :
Man kan också se att medellönen för tjänstemännen måste vara högre än medellönen för arbetare (annars skulle inte medellönen för alla anställda vara högre än medellönen för arbetarna). Man kan också kontatera att det inte kan finnas fler än 4 tjänstemän, för då skulle medellönen för tjänstemännen bli lägre än medellönen på hela företaget.

Detta är ännu mer HP tänkt, eftersom tiden går så fort!

(jag övertydligar igen åt amnesisk mig:)

Så du delade $\frac{755}{4}$ och konstaterade nånting (jag konstaterar bara att det närmar sig 200), men iaf $\frac{755}{5} = 75.5 \cdot 2 = 151$ , dvs att med 5 stycken tjänsteman blir medelönen lägre.

Och därifrån justerade du tills att båda tal blir heltal?

$[\frac{755}{4} + 163 x = 175 ? o m i n t e, f o r t s ä t t : \frac{755}{3} + 163 x = 175 ? . . .]$

Såhär?

Eftersom det är en HP-fråga och man har ont om tid när man skriver HP, skule jag nog bara konstatera att "det ser ut att vara tillräckligt mycket information om man har båda 1 och 2, men inte med bara den ena" och kryssa i C.

!Smaragdalena skrev :
Eftersom det är en HP-fråga och man har ont om tid när man skriver HP, skule jag nog bara konstatera att "det ser ut att vara tillräckligt mycket information om man har båda 1 och 2, men inte med bara den ena" och kryssa i C.

Snyggt! Du har hanterat det som Zorro!

pi-streck=en-halv skrev :
Kalla antal arbetare $A$ och totalt antal anställda $T$
Arbetarnas medellön $A_{ML}$ och tjänstemännens totala lön $T_{TL}$
Då är de anställdas medellön:
$(A \cdot A_{ML} + T_{TL})/T = 175000$
Vi vet att $A_{ML} = 163 000$ och $T_{TL} = 755 000$
Då är
$T = (A \cdot 163 + 755)/175$
Vi letar efter heltalslösningar där $T \geq A$ .

Tas detta upp i Matematik 1c? Finns det någon speciell formel som måste följas här?

Förstår inte vad som menas med att man ska multiplicera arbetare och arbetarnas medellön, samt addera tjänstemännens totala lön och dividera det med antalet tjänstemän? Hur vet man att detta formel anger medelinkomsten för både tjänstemännen och arbetare?

Sedan att T = (A*163+755)/175, kan du förklara varför formeln ser ut såhär snälla?

Smaragdalena skrev :
Man kan också se att medellönen för tjänstemännen måste vara högre än medellönen för arbetare (annars skulle inte medellönen för alla anställda vara högre än medellönen för arbetarna). Man kan också kontatera att det inte kan finnas fler än 4 tjänstemän, för då skulle medellönen för tjänstemännen bli lägre än medellönen på hela företaget.

Kan du utveckla detta med exempel? Jag förstår inte hur man kan se detta.

Dani163 skrev :
Smaragdalena skrev :
Man kan också se att medellönen för tjänstemännen måste vara högre än medellönen för arbetare (annars skulle inte medellönen för alla anställda vara högre än medellönen för arbetarna). Man kan också kontatera att det inte kan finnas fler än 4 tjänstemän, för då skulle medellönen för tjänstemännen bli lägre än medellönen på hela företaget.
Kan du utveckla detta med exempel? Jag förstår inte hur man kan se detta.

Du har ju ett exempel här i uppgiften. Sätt in siffrorna och räkna själv!

Jag tänker så här:
Tjänstemännens sammanlagda inkomst är 755000. Arbetarnas medelinkomst är 1630000.
Då kan vi se med division att tjänstemännen kan vara 4. Division ger då 188750/st. Är de tre blir det 251667/st. Bägge kan vara möjliga.
Om vi sätter upp en formel $\frac{163000 a + 755000}{a + 4} = 175000$ för att testa så kommer vi nära 5 arbetare.

Om vi sätter upp samma formel $\frac{163000 a + 755000}{a + 3} = 175000$ så närmar vi oss 19 arbetare.

Det här tar för lång tid på högskoleprovet gissar jag. Kan man förbättra min modell?
Att svaret blir C i (1) tillsammans med (2) blir väl uppenbart ganska snart kanske?