LA - Ekv system

Det betyder bara att en av vektorerna var en linjärkombination av de två andra. 

Det var ett bra svar, Woozah.

woozah skrev :

Det betyder bara att en av vektorerna var en linjärkombination av de två andra. 

Jag har inte kommit så långt, vet inte hur jag ska tolka det du skriver, kan du försöka på ett annat sätt?

MattePapput skrev :

woozah skrev :

Det betyder bara att en av vektorerna var en linjärkombination av de två andra. 

Jag har inte kommit så långt, vet inte hur jag ska tolka det du skriver, kan du försöka på ett annat sätt?

Du har alltså tre ekvationer:

$x_1+2x_2+x_3=1$

$2x_1+3x_2-2x_3=1$

$3x_1+4x_2-5x_3=1$

Eller hur? Om du får en rad till noll  så betyder det att du kan ta någon multipel av en rad och sedan en multipel av en annan rad och skapa den tredje raden. Så om du inte vet från början om de är linjärkombinationer av varandra så kommer du se att det är så omm en rad blir noll.

Ta ett förenklat exempel: Du har två ekvationer:

$4x+2y=2$

$2x+y=1$

Så får du samma problem - du får en rad som består av nollor. Men från början så ser vi ju att första raden bara är $2*andra raden$. Det betyder ju bara att våra två vektorer är parallella.

En linjärkombination betyder alltså egentligen bara att du kan tillverka en av vektorerna i koefficientmatrisen av de andra.

woozah skrev :

MattePapput skrev :

Visa föregående citat

woozah skrev :

Det betyder bara att en av vektorerna var en linjärkombination av de två andra. 

Jag har inte kommit så långt, vet inte hur jag ska tolka det du skriver, kan du försöka på ett annat sätt?

 

Du har alltså tre ekvationer:

$x_1+2x_2+x_3=1$

$2x_1+3x_2-2x_3=1$

$3x_1+4x_2-5x_3=1$

Eller hur? Om du får en rad till noll  så betyder det att du kan ta någon multipel av en rad och sedan en multipel av en annan rad och skapa den tredje raden. Så om du inte vet från början om de är linjärkombinationer av varandra så kommer du se att det är så omm en rad blir noll.

 

Ta ett förenklat exempel: Du har två ekvationer:

$4x+2y=2$

$2x+y=1$

Så får du samma problem - du får en rad som består av nollor. Men från början så ser vi ju att första raden bara är $2*andra raden$. Det betyder ju bara att våra två vektorer är parallella.

 

En linjärkombination betyder alltså egentligen bara att du kan tillverka en av vektorerna i koefficientmatrisen av de andra.

Förstår inte varför jag ska ta en multipel var av de två återstående raderna för att skapa en tredje? Varför gör man så? 

Jag lyckas förenkla en av ekvationerna och se att den egentligen är 0=0 alltså den tredje ekvationen =0

Ska jag se dessa ekvationer som vektorer? 

I ditt exempel så är vektorerna parallella ja, men den ena är dubbelt så lång?

Bump

Om du sätter $x_1 = x, x_2 = y, x_3=z$ så kan du tolka de tre sambandet som varsitt plan i tre dimensioner, exempelvis:

$x+2y+z=1$

Om du har tre linjärt oberoende ekvationer finns bara en gemensam skärningspunkt mellan planen, men om de är linjärt beroende finns det antingen oändligt många lösningar eller ingen lösning.

Tag exemplet ovan från woozah:

$2x + y = 1$

$4x + 2y = 2$

Den andra ekvationen bidrar inte till någon ny information. Om man skriver om båda på formen $y = kx + m$ ser man det tydligt:

Ekvation 1: $y = -2x + 1$

Ekvation 2: $y = -\frac{4}{2}x+\frac{2}{2} = -2x +1$

Båda beskriver alltså samma linje i xy-planet, vilket innebär att alla punkter på linjen:

$y = -2x + 1$ är lösningar till ekvationssystemet, d.v.s. det finns oändligt många lösningar.

tomast80 skrev :

Om du sätter $x_1 = x, x_2 = y, x_3=z$ så kan du tolka de tre sambandet som varsitt plan i tre dimensioner, exempelvis:

$x+2y+z=1$

Om du har tre linjärt oberoende ekvationer finns bara en gemensam skärningspunkt mellan planen, men om de är linjärt beroende finns det antingen oändligt många lösningar eller ingen lösning.

Tag exemplet ovan från woozah:

$2x + y = 1$

$4x + 2y = 2$

Den andra ekvationen bidrar inte till någon ny information. Om man skriver om båda på formen $y = kx + m$ ser man det tydligt:

Ekvation 1: $y = -2x + 1$

Ekvation 2: $y = -\frac{4}{2}x+\frac{2}{2} = -2x +1$

Båda beskriver alltså samma linje i xy-planet, vilket innebär att alla punkter på linjen:

$y = -2x + 1$ är lösningar till ekvationssystemet, d.v.s. det finns oändligt många lösningar.

Hmm, om man kunde rita upp detta på något sätt och visa exakt vad som händer och vad man egentligen gör så vore det nog hjälpsamt. 

Följande linje på parameterform beskriver alla lösningar till ekvationssystemet:

$(x(t),y(t),z(t)) = (t,-\frac{4}{7}t+\frac{3}{7},\frac{1}{7}t+\frac{1}{7})$