Cylindrisk tank (Matematik/Matte 4)

Du har tagit fram volymen för en stående cylinder.

Men tanken ligger ned. Vad innebär det att vattennivån är 1m? Kan du rita en bild som föreställer en liggande cylinder med ett visst vattendjup?

Vad menar du? Jag förstår inte

D4NIEL skrev:
Du har tagit fram volymen för en stående cylinder.

Men tanken ligger ned. Vad innebär det att vattennivån är 1m? Kan du rita en bild som föreställer en liggande cylinder med ett visst vattendjup?

Att vattennivån är 1m betyder att höjden är 1

Teckna ett samband mellan volymen och höjden.

Jag har ju gjort det? Vad är skillnaden mellan en liggande cylinder och en vanlig

Rita.

Rita en figur som du kan använda för att teckna sambandet mellan höjd och volym.

V=r² *pi *h ?
hur kan jag teckna ett uttryck för r i h?

Det du behöver är alltså ett uttryck för det blå området i cirkeln (bottenytan), sedan kan du multiplicera det med längden av tanken för att få volymen.

Ska man ta inte använda formeln r²*pi*h?

Nej, det går inte. Basytan blir ju inte $\pi r^2$ utan något du faktiskt måste räkna ut. Kan du räkna ut arean $A(r)$ av det blå området i cirkeln till höger i bild?

Sedan blir volymen bottenytan gånger längden $L$ av tanken $V=A(r)\cdot L$

Efter det kan du använda tekniken du skissar ovan

Nej. Hur gör man det? Jag förstår inte hur man ska tänka
”Kan du räkna ut arean A(r)av det blå området i cirkeln till höger i bild?”

Du ska ta fram ett uttryck för volymen som funktion av höjden, dvs V(h). Du har ju i frågan kommit fram till att du behöver dV/dh för att kunna beräkna dh/dt då h=1 m.
Arean av den blåmarkerade området i tvärsnittet ska uttryckas som en funktion av h, dvs A(h).

Men måste jag inte då göra en omskrivning där jag gör om r till h? Vilken formeln ska man använda?

Om du har tur kan formeln för arean av ett cirkelsegment finnas i din formelsamling, annars får du försöka härleda den med hjälp av det som är givet.

Tips, rita ut radierna som går till det blå områdets ytterkanter (se inlägg #11, högra bilden), så kan du beräkna det blå områdets area som arean av en cirkelsektor minus arean av en triangel.

r är given i uppgiften, 5 meter. Jag har inte löst uppgiften men formeln för arean av en cirkelsektor borde vara en början, https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/geometri-i/cirkelsektor
Cirkelsektorns area minus triangeln (delen ovan vattenytan) blir segmentets area.

Finns även färdig formel för cirkelsegment men vet inte om den är i formelsamlingen: https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/geometri-i/cirkelsegment

Men som sagt, jag har inte gjort uträkningen och har ett svagt minne av att det är lite pyssligt att få fram uttrycket för arean.
Här finns arean uttryckt utan (och med) vinkel: https://matmin.kevius.com/cirkel.php#segment

Här är en skiss över situationen.

Att beräkna arean är som sagt lite krångligt, men vi behöver faktiskt inte ta fram ett explicit uttryck.

Det räcker med att vi tar fram ett uttryck för kordan $a$ .

Sedan kan man tänka sig att arean är samlingen av ett stort antal smala band med arean

$dA=a\,dh$

Så det totala blå området är

$\displaystyle \int \,dA$

Men redan ur uttrycket för det smala bandet kan vi klura ut att (dela båda sidor med $dh$ )

$\displaystyle \frac{dA}{dh}=a$

Kan du komma vidare nu?

jag hänger inte med på vad du menar här "

Sedan kan man tänka sig att arean är samlingen av ett stort antal smala band med arean

dA=a dh

Så det totala blå området är

∫dA"

När du tidigare har beräknat integraler har du säkert använt "skivmetoden" någon gång.

Vi gör ungefär samma sak här, dvs vi skapar ett antal band som är väldigt väldigt tunna. Och så lägger vi ihop (integrerar) alla smala band och får Arean. Arean av ett enskilt band är ju bara arean av en rektangel med sidorna $a$ och $dh$

Arean av ett sådant band är alltså

$dA=a\,dh$

Alltså måste

$\displaystyle \frac{dA}{dh}=a$

Och längden av $a$ är enkel att räkna ut givet att $R=5$ , $h=1$ . Använd t.ex. med pythagoras sats och en känd triangel (3,4,5).

Det visar sig då att kordans längd är $a=6m$ vid den givna tidpunkten.

Använd slutligen ( $V=LA$ )

$\displaystyle \frac{dV}{dt}=L\frac{dA}{dh}\frac{dh}{dt}$

med $L=20m$ och $\frac{dV}{dt}=0.5m^3/min$ för att lösa ut $\frac{dh}{dt}$

jag förstår inte vad står dA=a*dh står för?

jag förstår inte hur jag ska börja med uträkningen

"

dA=adhdA=a dhAlltså måste

dAdh=adAdh=a

Och längden av aa är enkel att räkna ut givet att R=5R=5, h=1h=1. Använd t.ex. med pythagoras sats och en känd triangel (3,4,5).

Det visar sig då att kordans längd är a=6ma=6m vid den givna tidpunkten."

Vid tidpunkten då djupet är $h=1m$ tänker vi oss att arean är $A$ , se till vänster bild.

Vid en lite senare tidpunkt har vi fyllt på vatten, vattendjupet är nu $h+dh$ och arean är lite större, nämligen $A+dA$ , se till höger i bild. Om vi låter påfyllningen vara tillräckligt liten approximeras areaförändringen $dA$ av rektangeln $a\cdot dh$ . Rektangeln är lätt gråmarkerad i bilden. Är du med?

Och rent konkret tycker jag att du ska börja med att beräkna kordans längd $a$ .

Använd sedan att $\frac{dA}{dh}=a$ .

Hur menar du här

”Om vi låter påfyllningen vara tillräckligt liten approximeras areaförändringen dAdA av rektangeln a·dha·dh. Rektangeln är lätt gråmarkerad i bilden. Är du med?”

Exempel:

Från början är vattendjupet 1m. Om vi fyller på vatten så att vattennivån stiger 1mm, $dh=0.001m$ , så ökar den blå ytan (den med vatten) med ungefär $dA=0.006m^2$ ( $dh\cdot a$ ) och vattenvolymen i tanken ökar med $20m\cdot 0.006m^2=120liter$

Alternativt sätt att beräkna volymen.

Kanske lite svårt att läsa. Det står volym cylinder $V = (\frac{α r^{2}}{2} - \sqrt{h (2 r - h)} (r - h)) * 20$ .

Edit: $α$ behöver också uttryckas i h. då får man funktionen $α = 2 a r c \sin (\frac{\sqrt{h (2 r - h)}}{r});$ Derivatan av arcsin ingår inte vad jag vet i ma4. Det blir dessutom krångligt. Jag tror att DANIEL sätt blir bäst.