Cylinderkoordinater

Du tappade bort basvektorerna. $\overrightarrow{v}=v_r{\overrightarrow{e}}_r+v_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

Sedan har du att $v_x=\overrightarrow{v}\bullet {\overrightarrow{e}}_x=v_r\cos \theta - v_{\theta }\sin \theta$.

Ett enklare sätt är att se att

$x=\frac{b}{\tan \theta }$

$v_x=\dot{x}=\frac{d}{dt}\left(\frac{b}{\tan \theta }\right)=-\frac{b\omega }{{\sin }^2\theta }$.

Jag förstår inte vart v_x kommer ifrån? Sen undrar jag vart x = b/(tan täta) kommer ifrån? Är inte hastigheten dessutom bara summan av den radiella och transversella hastighetskomponenten, såsom jag räknat ut?

Du blandar i hop vektorer och skalärer.

r = $b/\sin \theta$ är en skalär och det är $\dot{r}$ = $v_r$ också.

Detsamma gäller för $v_{\theta }$ = $r\dot{\theta }$, dvs skalär.

Hastigheten är en vektor $\overrightarrow{v}=v_r{\overrightarrow{e}}_r+v_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ = $-\frac{b\omega \cos \theta }{{\sin }^2\theta }{\overrightarrow{e}}_r+\frac{b\omega }{\sin \theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$.

Notera att vi måste få med basvektorerna ${\overrightarrow{e}}_r och {\overrightarrow{e}}_{\theta }$ för att det skall bli en vektor.

Sedan gäller det generellt att om du har en vektor $\overrightarrow{u}$ och vill ha dess x-komponent så kan du få den genom att skalärmultiplicera med enhetsvektorn ${\overrightarrow{e}}_x$, dvs $u_x=\overrightarrow{u}\bullet {\overrightarrow{e}}_x$.

Så för att få v_x så kan vi skalärmultiplicera $\overrightarrow{v}$ med ${\overrightarrow{e}}_x$. 

Sedan utnyttjar jag att

${\overrightarrow{e}}_r\bullet {\overrightarrow{e}}_x=\cos \theta$

${\overrightarrow{e}}_{\theta }\bullet {\overrightarrow{e}}_x=-\sin \theta$.

När det gäller formeln för x så se figuren nedan. Fråga om något är oklart.

Varför är vi ute efter hastighetsvektorns x-komponent? Räcker det inte med att bara ange hastigheten som hastighetsvektorn? Jag förstår alltså inte varför vi söker v_x när uppgiften bara frågar efter v?

Eftersom P endast kan röra sig i x-riktningen så gäller det att

$\overrightarrow{v}=v_x{\overrightarrow{e}}_x$.

Så hastigheten bestäms helt av dess komponent i x-led.