Cylinderkoordinater

I cylindriska koordinater är rotationen för ett vektorfält:

$\nabla\times\mathbf{F}=(\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial \mathbf{F}_{z}}{\partial\phi}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_{\phi}}{\partial z})\hat{\mathbf{\rho}}+(\dfrac{\partial\mathbf{F}_{\rho}}{\partial z}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_z}{\partial\rho})\hat{\mathbf{\phi}}+\dfrac{1}{\rho}(\dfrac{\partial(\rho\mathbf{F}_{\phi})}{\partial\rho}-\dfrac{\partial\mathbf{F}_{\rho}}{\partial\phi})\hat{\mathbf{z}}$

(https://en.wikipedia.org/wiki/Del_in_cylindrical_and_spherical_coordinates#Del_formula)

Ser du att $\nabla\times\mathbf{A}=0$ för ditt vektorfält?

Ja, med den formeln ser jag det. Jag hade en annan förut som jag verkar ha misstolkat. Hur fortsätter man sen? Misstänker att han stoppar in enhetscirkeln i integralen, jag kan ju i x och y, men hur?

Jag försökte, och verkar ha fått rätt svar, men vartifrån kom 1/p^2 i lösningsförlaget? Det var ju bara delat på en p i A?

Eftersom vektorfältet inte är definierat då $\rho=0$ (längs $z$-axeln) väljer man att införa kurvan $\Gamma_1$ (enhetscirkeln ett varv moturs) för att gå runt diskontinuiteten. Stokes sats ger:

$\displaystyle\int_{\Gamma-\Gamma_1}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=0$

(Notera att facit slarvar och missar minustecknet)

och då är:

$\displaystyle\int_{\Gamma}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=\int_{\Gamma_1}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$

alltså behöver man bara beräkna kurvintegralen av $\Gamma_1$.

Så långt är jag med. Men vad kom 1/p^2 från. Det som står längre ner. 

Micimacko skrev:

Jag försökte, och verkar ha fått rätt svar, men vartifrån kom 1/p^2 i lösningsförlaget? Det var ju bara delat på en p i A?

Notationsanmärkning: det är rho ($\rho$), inte p. Det kan mycket väl hända att båda förekommer samtidigt.

Micimacko skrev:

Så långt är jag med. Men vad kom 1/p^2 från. Det som står längre ner. 

 Det fattar inte jag heller. Eftersom

$\mathbf{r}\left(\phi\right)=\hat{\mathbf{\rho}}+\phi\hat{\mathbf{\phi}}$

borde ju $\mathbf{A}(\mathbf{r}(\phi))$ bli:

$\mathbf{A}\left(\mathbf{r}\left(\phi\right)\right)=\dfrac{\cos^2(\phi)}{1}\hat{\mathbf{\phi}}=\cos^2\left(\phi\right)\hat{\mathbf{\phi}}$

Då tänker jag bara anta att det står fel i facit :) Men jag fattar ju nu, tack! :D