Cylinder i ett klot
Ur ett klot med radien R cm borrar man ett hål längs en diameter. Det som blir kvar av klotet är en ringformadkropp med höjd 6cm. Beräkna kroppens volym (R>3)
Jag har tänkt att man kan ta klotets volym - cylinderns volym. Men jag har svårt att få fram de värden jag behöver. På något sätt måste jag väl uttrycka klotets radie i förhållande till cylinders radie?
Har du ritat?
Har ritat upp det såhär
Du kan rita en triangel med ett hörn i klotets medelpunkt och r som en katet och 3 som den andra kateten. Ser du vad dess hypotenusa är?
Ja, r2+32=hypotenusan2. Men jag ser inte hur det ska hjälpa mig?
Rita in den i din figur, och rita kanske dit hela den ursprungliga cirkeln också.
Jag ritade in triangeln åt fel håll först här men tänk dig den spegelvänd
Jo precis. Spegelvänd så ser man att diagonalen är R.
Okej, så då får jag r2+32=R2.
Jag kan ersätta r2 med R2-9 så cylinderns volym blir 6*pi*(R2-9).
Så jag har alltså Vklot - Vcylinder = Vringformadkropp. Ska jag derivera nu?
Om du tar klotet minus cylindern så har du inte tagit hänsyn till den buktade delen av det som har borrats bort. Det kanske finns en färdig formel för det. Annars får du beräkna volymen av en lämplig rotationskropp, med integrering snarare än derivering.
Det här är favoritproblem som Martin Gardner har tagit upp. Det roliga med det blir samma resultat oberoende av det ursprungliga klotets storlek - under förutsättning att kulan är så stor att det är möjligt att borra ett 6 cm långt hål längs diametern på så sätt att det som blir kvar är en ringformad kropp.
Hmm ja, för jag försökte med att bara derivera och då fick jag rätt svar, men jag fick ju även ut att R=3 vilket det inte fick vara. Verkar vara en klurig uppgift det här...
Jag behöver alltså räkna med rotationskroppar. Men vad ska jag kalla gränserna?
Tack så mycket! :)
