cykliska undergruppern

Standardfråga 1a: Har du ritat? Här skulle jag rita en ring med 5 pärlor på. W är att gå ett steg moturs.

Låt t ex pärla 1 vara röd, pärla 2 gul, 3 grön, 4 blå och 5 lila. Då får du

$w$: (röd), gul, grön, blå, lila, röd

$w^2$: (röd), grön, lila, gul, blå, röd

$w^3$: (röd), blå, gul, lila, grön, röd

den sista får du fundera ut själv.

vi har alltså att ettan är identitetsavbildningen så ingenting händer, och sedan w går vi ett steg moturs, så långt är jag med. Men när jag sedan ritar cirkeln för $w^2$ ska jag inte bara gå ett steg till moturs? i så fall får jag $w^2=$(gul,grön,blå,lila,röd)  det jag inte förstår är varför vi får röd i början och slutet på varje ? 

Jag tänker mig att man "är på" röd när man börjar. Om man går ett dubbelsteg motsols hamnar man på grön - hade man inte varit på röd från början hade man inte hamnat på grön efter ett "dubbelsteg".

okej då får jag att $w^4=$ röd,gul,grön,blå,lila,röd.

Om man sedan skriver om så att vi får 

$$\begin{gathered} Röd=1 \\ Gul=w \\ Grön=w^2 \\ Blå=w^3 \\ Lila=w^4 \end{gathered}$$ 

så får jag 

$$\begin{gathered} w=\left\{1,w,w^2,w^3,w^4,1\right\} \\ {w}^2=\left\{1,w^2,w^4,w,w^3,1\right\} \\ {w}^3=\left\{1,w^3,w,w^4,w^2,1\right\} \\ {w}^4=\left\{1,w,w^2,w^3,w^4,1\right\} \end{gathered}$$

skillnaden är alltså att här börjar och slutar vi med ettan medans i svaret till uppgiften hade dom bara med ettan i slutet. Skriver man sedan att $w^2=\left\{1,w^2,w^4,w,w^3,1\right\}={\mathrm{ℂ}}_5$ eftersom vi har hela gruppen representerad?

Nej, det du har skrivit är $w$ - $w^4$ är samma sak fast baklänges, d v s (röd), lila, blå, grön, gul, röd.

Nej, du skall inte ha med "startpositionen" - då blir det ju 6 element. Jämför med hur du själv skrev att svaret skall vara i förstainläggget!

nu har jag fått rätt svar:

$$\begin{gathered} w^2=\left\{w^2,w^4,w,w^3,1\right\} \\ {w}^3=\left\{w^3,w,w^4,w^2,1\right\} \\ {w}^4=\left\{w^4,w^3,w^2,w,1\right\} \end{gathered}$$

och ser man då att eftersom vi får in samtliga element oavsett hur många steg vi rör oss så får vi bara den triviala undergruppen samt hela gruppen som undergrupp medans om vi hade haft en grupp exempelvis ${\mathrm{ℂ}}_4$ så skulle $w^2$ endast ge oss elementen $\left\{w^2,1\right\}$ och blir därmed en egen undergrupp så förutom den triviala undergruppen och hela gruppen så får vi även $\left\{w^2,1\right\}$ och totalt då 3 undergrupper.