Cykliska grupper

Behöver hjälp med följande uppgift.

Jag har två isomorfa grupper $(G, \circ)$ och $(H, ⋄)$ . Jag skall nu visa att om den första gruppen är cyklisk, då är även den andra gruppen cyklisk.

Enligt en given ledning så skall jag först visa att $φ (e_{G}) = e_{H}$ . Därefter skall jag visa att om $a$ genererar $G$ så gäller $φ (a^{k}) = φ (a)^{k}, k \in ℤ$ .

P.g.a. isomorfin kan vi skriva

$φ (e_{G} \circ a) = φ (e_{G}) ⋄ φ (a) = φ (a) ⋄ e_{H}, φ (a) \in H$

Eftersom mängderna är ändliga kan vi stryka de två elementen i H och få

$φ (e_{G}) = e_{H}$

Måste jag nu bevisa den andra delen m.h.a. induktion, eller räcker det med att konstatera att $φ (a^{k}) = φ (a)^{k}$ följer ur isomorfin, samt att $φ : G \to H$ är bijektiv, vilket innebär att varje element i G avbildas exakt en gång i H, så att $φ (a)$ är det element i H som genererar H? Således är H cyklisk.

Är detta rätt tänkt.

1. Då k>0 gör jag ett induktionsbevis. Bassteget är självklart.

Jag gör induktionsantagandet $φ (a^{p}) = φ (a)^{p}, p \geq 2$ , och visar att påståendet även gäller för k=p+1

$φ (a^{p + 1}) = φ (a^{p} \circ a) = φ (a^{p}) ⋄ φ (a) = φ (a)^{p} ⋄ φ (a) = φ (a)^{p + 1}$

2. Då k=0 får vi

$φ (a^{0}) = φ (e_{G}) = e_{H} = φ (a)^{0}$

3. Då k<0 får vi m.h.a. induktionsbeviset vi gjorde ovan

$φ (a^{k}) = φ (a^{- p}) = φ ({[a^{- 1}]}^{p}) = φ (a^{- 1})^{p} = φ (a)^{- p} = φ (a)^{k}, p > 0$

Det näst sista steget ovan gäller eftersom

$φ (a \circ a^{- 1}) = φ (a) ⋄ φ (a^{- 1}) = φ (e_{G}) = e_{H} \Leftrightarrow φ (a^{- 1}) = e_{H} ⋄ φ (a)^{- 1} = φ (a)^{- 1}$

Vi kan alltså konstatera att det existerar ett element i H sådant att $H = \{φ (a)^{k} : k \in ℤ\}$ . Alltså är även H cyklisk.

Svara