cykliska grupper
Hej
kan någon hjälpa mig med att bestämma om följande grupper är cykliska eller inte:
a)
b)
c)
d)
Som jag förstått så är en grupp cyklisk om det finns någon element i gruppen som representerar hela gruppen. Exempelvis i a uppgiften ska vi finna ett element som har (0,1,2,3,4)
Om man då ställer upp a uppgiften så får jag:
Men här kan vi ju se att samtliga rader har hela gruppen representerad förutom rad 0
Problemet är att i b uppgiften som inte ska vara cyklisk får jag att rad 1 också innehåller hela gruppen.
Gruppen är cyklisk om det existerar ett element a sådant att a^n genererar gruppen.
I a) så är inte 0 med i gruppen eftersom vi pratar om den multiplikativa gruppen, här kan du verifiera att 2 är en generator till gruppen, eftersom man får 2, 2^2 = 4, 2^3 = 8 = 3, 2^4 = 1.
okej då fick jag i a
då kan vi se att 2 och 3 är en generator till gruppen.
och alltså är a cyklisk
men jag får inte till det med c uppgiften
Man ska väl göra samma sak som i a fast det blir ju ganska stora tal då men jag får ingen som genererar hela gruppen fast i facit står det att c är cyklisk
Okej, ja det stämmer att 2 och 3 genererar gruppen.
Man kan väl tänka på lite olika sätt för att finna en generatör till Z_10, men man vet ju att det endast är 4 element i gruppen, så det är ju inte så jättejobbigt att bara testa dom.
jag är inte riktigt med, hur menar du att det bara är 4 element i gruppen?
De element som ingår i gruppen är de som är relativt prim till 10, så det är alltså 1, 3, 7, 9 som ingår i gruppen.
Så ska man då alltså ta för 3=3,3^3,3^7,3^9 ?
okej så i b har vi elementen 1,3,5,7?
Nej du ska fortfarande beräkna för 3, 3^2, 3^3, 3^4.
Ja i b har du dom elementen.
okej då har jag löst a,b,c men hur blir det med d uppgiften, då har vi istället D*3
Vad syftar dom på för grupp med den? Är det https://en.wikipedia.org/wiki/Dihedral_group som syftas på?
Det ståt inte men jag antar det.
Men vad har dom använt tidigare i litteraturen då? Det kan ju inte vara första gången beteckningen dyker upp.
Men hursomhelst, om det är Dihedral group 3 (eller 6) så är det ju symmetrierna i en triangel i princip. Så tar man en rotation så kommer man aldrig någonsin få en spegling och tar man en spegling så kommer man aldrig få en rotation, så den kan inte vara cyklisk.
ja det ska vara Dihedral Group såg jag nu men jag vet inte hur man ska ställa upp den eller tänka för att se om den är cyklisk eller inte.
Om a är en generator till gruppen, så är ju a antingen en rotation eller en spegling. Om det är en rotation så vet vi att a^3 = e och om det är en spegling så är a^2 = e. Så man kan alltså inte ha en generator till gruppen eftersom ordningen på D_3 är 6.
Jag är inte helt med på vad som gäller för Dihedral Groups. Jag är med på om en Z grupp är cyklisk eller inte men jag har svårar med Dihedral.
Om vi då kan konstatera att D3 inte är cyklisk, hur kan man bestämma om en grupp D är cyklisk?
Man måste helt enkelt analysera det från fall till fall. Om det finns en generator så är den cyklisk, annars är den inte det.
