Cyklisk grupp
Hur kan mängden {1,3,7,9} som är mängden inverterar element i Z10 vara cyklisk med avseende på multiplikation?
I facit står det att denna grupp är cyklisk med avseende på multiplikation eftersom att varje element kan skrivas som 3j för något j, vilket jag håller med om för 1,3 och 9 men inte för 7. Hur har de fått fram detta?
3^1=3, 3^2=9,3^3=27=7(mod 10), 3^4=81 = 1 (mod 10)
henrikus skrev:3^1=3, 3^2=9,3^3=27=7(mod 10), 3^4=81 = 1 (mod 10)
Tack då förstår jag! Finns det något enkelt sätt att kolla huruvida en mängd är cyklisk med avseende på multiplikation?
Tex hade vi en annan uppgift där mängden var {1,2,...,22} i Z23 och svaret var att denna var cyklisk då alla element kan skrivas som 5j för något j, men ska man verkligen behöva kontrollera alla siffror 1-22, för multiplikation med sig själv, i modulo 23 för att se om den är cyklisk?
Nej, eftersom 23 är ett primtal. Det behöver kanske bevisas att det är så.
Att bevisa det är relativt svårt.
Man bör i princip känna till, står säkert i Lunds bok någonstans, att om p är primtal så är Z_p cyklisk.
Att sedan hitta ett genererande element är inte så svårt för ett måttligt stort p.
Man prövar sig fram:
Det är uppenbart inte 1.
2->4->8->16->9->18->13->3->6->12->1 så det är inte 2 och heller inget av de andra talen i den serien.
Så vi testar 5 och det löser sig ju då.
Smutsmunnen skrev:Att bevisa det är relativt svårt.
Man bör i princip känna till, står säkert i Lunds bok någonstans, att om p är primtal så är Z_p cyklisk.
Att sedan hitta ett genererande element är inte så svårt för ett måttligt stort p.
Man prövar sig fram:
Det är uppenbart inte 1.
2->4->8->16->9->18->13->3->6->12->1 så det är inte 2 och heller inget av de andra talen i den serien.
Så vi testar 5 och det löser sig ju då.
Tack så mycket! Då förstår jag lite mer.
Laguna skrev:Nej, eftersom 23 är ett primtal. Det behöver kanske bevisas att det är så.
Tack!
