Cosinussatsen
Jag har ett parallellogram där ena sidan är 4 cm och den andra är 8 cm. En diagonal är 6 cm och man undrar hur lång den andra diagonalen är. Jag undrar vilken sats som är bäst för detta? Om jag tar cos-satsen, hur vet jag då vilka värden jag ska sätta i a, b och c? Jag har ju ingen tydlig hypotenusa som skulle hjälpa som i pythagoras sats....
Det finns en sats som kallas parallellogramsatsen: Om diagonalerna i en parallellogram är d1 och d2 och sidorna a och b så gäller d12+ d22 = 2(a2+b2)
Jaha ok! Tack!
Parallellogramsatsen, ett namn jag kan ha hört men glömt.
Men KatrinC, din fråga om cosinussatsen, se bifogad bild hur jag gjorde:
Och hypotenusan undrar du över. Cosinussatsen är så bekväm för vilken sida som helst kan vara ”hypotenusa”. Rita en triangel vilken som helst. Låt en av vinklarna vara X och låt motstående sida vara x. Om de övriga sidorna är a och b så har du Pythagoras:
x2 = a2+b2 –2ab cosX
Du kan flytta runt X i triangeln och det stämmer hela tiden. Extra enkelt när X är 90° eftersom cos90° = 0.
Jaha... jag trodde att det behövdes en rät vinkel för att det skulle fungera! Vad skiljer cos-satsen och sin-satsen? när använder man vilken sats?
Du använder skruvmejsel när du har en skruv och skiftnyckel när du har mutter. Så Du använder det du har för att få det du söker.
Jag har inget recept för i vilka situationer man tar det ena eller det andra ur verktygslådan. Men har du tre sidor och söker en vinkel så ligger cosinussatsen bättre till än sinussatsen. Jag är uppriktigt sagt inte så vass på dessa satser, måste för det mesta prova mig fram.
Men en regel som tyvärr fallit ur gymnasiet någon gång de senaste sextio åren är Herons formel. Du har en triangels sidor och vill veta arean:
Säg att sidorna är a, b och c. Bilda halva omkretsen dvs (a+b+c)/2 och kalla det för p.
Då är arean A = Roten Ur [p(p–a)(p–b)(p–c)]
T ex halva parallellogrammen i uppgiften är en triangel med sidorna 4, 8 och 6. Omkretsen är 18, halva omkretsen är 9. Så arean är Roten Ur [9 x 1 x 3 x 5] = roten ur (135).
Så parallellogramens area är 2 x roten ur (135). Kan vara användbart ibland.
Och Pythagoras sats är helt enkelt cosinussatsen när vinkeln är rät.
Ok, tack! Så i princip så är cosinus-satsen och pythagoras sats samma, fast Pythagoras gäller när hypotenusan finns mittemot 90-graders vinkeln?
Precis. Pythagoras’ sats är ett specialfall av cosinussatsen.
Tag t ex en triangel där alla sidor är 1. Cossatsen ger
12 = 12 + 12 – 2 x 1 x 1 x cos (v)
2 cos v = 1 + 1 –1
cos v = 1/2
så v = 60° (vilket vi visste redan innan)
Och tar du en triangel där sidorna är 3, 4 och 5 (”egyptisk” triangel) får du
52 = 32 + 42 – 2 x 3 x 4 cos v
24 cos v = 9+16–25
cos v = 0 dvs v = 90°
De övriga vinklarna bestäms på samma sätt, t ex
9 = 25 + 16 – 2x5x4 cos u
cos u = 32/40 = 4/5 (vilket vi också ser direkt)
Ok. Tack så mycket för hjälpen! När stänger ni för ikväll?
Haha, jag tittar in här ibland, men nu kanske jag lägger mig snart.
Jag vaknade till och insåg hur elegant parallellogramsatsen är. Poängen är att
cos v + cos(180°–v) = 0
och det är de vinklarna vi har i en parallellogram. Jag vet inte om du kan följa mina kråkfötter, men med cosinussatsen sitter det som en smäck
- Godmorgon! Oj den formeln såg tjusig ut! Vilket jobb du har gjort! Tack! Men frågan är om jag kommer att minnas den... Använder jag den enbart när det handlar om diagonaler? Sedan verkar det vara de 2 cos-satserna för båda diagonalerna? Om jag inte har cosv, kan jag alltså skriva ett uttryck för sidan istället (180-v)?
Förstår kanske inte riktigt hur du menar. Parallellogramsatsen gäller alla parallellogrammer, alltså även romber (och rektanglar och kvadrater som ju är parallellogrammer, men där är diagonalerna lika – inte så spännande).
En parallellogram har två hörn med vinkeln v och två hörn med vinkeln 180°–v.
Eftersom cos v och cos(180–v) har samma värde men motsatt tecken kan vi skriva
cos v = K och cos(180–v) = –K som ger (se figurer)
d12 = a2 + b2 – 2abK
d22 = a2 + b2 + 2abK
Lägger du ihop vänsterleden för sig och högerleden för sig försvinner K-termen och vi har parallellogramlikheten i knät.
”… frågan är om jag kommer att minnas den” skriver du. Som utantillkunskap har satsen begränsat värde. Men en hajk genom vildmarken – det är inte bara att komma fram som är viktigt, behållningen är vilka scenerier som visar sig på vägen. När jag inatt plötsligt såg hur fint allt hängde ihop, måste jag upp och skriva ned det. Det var där jag lärde mig något;
Om u+v = 180° så är cos u = –cos v
det är nyckeln till problemet. Inte att rabbla formeln.
