14 svar
1757 visningar
Klarafardiga behöver inte mer hjälp
Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:26

Cos2x=0

Hej, som rubriken lyder så ska jag lösa cos2x=0 0,2π

Följande tänkte jag :

 

cos2x=0cos2x=cos2x-sin2x ->cos2x-sin2x=0cos2x är samma sak som 1-sin2xdå blir det följande 1-sin2x-sin2x=0, detta är samma sak som:2sin2x=1, sen delar jag båda sidor med 2 och får sin2x=12 = sin x=±12, men som jag förstått det av min lärare tänker jag helt fel, hur ska jag lösa detta?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:28 Redigerad: 24 sep 2017 11:28

Hur hade du gjort för att hitta alla lösningar till cos(x)=0 \cos(x) = 0 ?

Bubo 7347
Postad: 24 sep 2017 11:29

Nja, fel och fel...

Du har gjort rätt, för om sin(x) är ±12 så är cos(2x) lika med noll.

Men det finns ett mycket enklare sätt: Om cosinus av något är noll, vad kan då "något" vara?

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:31

1?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:36

Menar du att 1 skulle vara alla lösningar till cos(x)=0 \cos(x) = 0 ?

Om vi kollar vad cos(1) \cos(1) är så är inte det noll, så det är inte ens en lösning. Ta och kolla i enhetscirkeln, för vilka vinklar blir cosinus noll?

Bubo 7347
Postad: 24 sep 2017 11:36

Du ska söka en vinkel sådan att cos(vinkeln) = 0.

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:39

Jaha, förlåt! Är lite förvirrad nu! 

Den kan väl vara i radianer följande cos v=0 är π2 och 3π2?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:41 Redigerad: 24 sep 2017 11:41

Ja det stämmer bra. Men om man ska finna alla så behöver man även lägga på hela perioder. Så man kan komprimera alla lösningar till

π2+πn \frac{\pi}{2} + \pi n

Så om du vet att cos(x)=0 \cos(x) = 0 har dessa lösningar, kan du då använda detta för att hitta alla lösningar till cos(2x)=0 \cos(2x) = 0 ?

Bubo 7347
Postad: 24 sep 2017 11:44

Ja, det är två lösningar.

När ekvationen är sådan att man har givet sinus eller cosinus av 2x (eller 3x eller 15x eller x/42 eller...) kommer vi efter ett tag att behöva gå från

cos(v) = 0   till   cos(2x) = 0

och då gäller det att se upp. Ifall vi begränsar v till [Noll, 2pi] så har vi av misstag begränsat x till [Noll, pi] för x är ju hälften av v.

Räkna alltså tills vidare med alla lösningar:

2x = pi/2 + N*2*pi   och 2x = 3pi/2 + N*2*pi

som är exakt samma sak som

2x = pi/2 + N*pi     (ser du varför?)

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 11:57

Ja okej! :) det förstod jag! 

Då får jag fram Lπ2,3π2,5π2,7π2, men enligt facit ska alla nämanre vara 4, hur kommer detta sig? Jag ser ju på enhetscirklen att lösningen ska vara det, men förstår inte hur jag får fram det!

För π2+4π2=5π2, eller vad har jag missat?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 12:07

Fast eftersom vi har att vi ska lösa cos(2x)=0 \cos(2x) = 0 så måste det alltså gälla att

2x=π2+πn 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n

Löser vi nu ut x så får man

x=π4+π2n x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n

Så nu söker vi lösningarna som ligger i intervallet [0, 2pi] vilket vi får för n = 0, 1, 2, 3. Dvs lösningarna är

π4,3π4,5π4,7π4 \frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4},\,\frac{7\pi}{4} .

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 12:09

Ja, självklart! Tack så hemskt mycket alla! :)

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 12:29

En sista fråga, spelar det någon roll om det står 2cosx=0 eller cos2x=0? Blir detta samma svar?

Bubo 7347
Postad: 24 sep 2017 12:40

Ja, det är två helt olika saker.

2cosx skulle jag hellre skriva som 2*cos(x), alltså Dubbelt så mycket som cosinus för x.

cos2x skulle jag hellre skriva som cos(2x), alltså Cosinus för dubbla vinkeln.

Om x är pi/6 radianer (samma som 30 grader)

2*cos(pi/3) = 2 * sqrt(3)/2 = sqrt(3)

cos(2*pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

 

Ta gärna för vana att alltid sätta en parentes runt funktionsvariabeln, alltså runt vinkeln: sin(v) och inte sinv.

Du skulle väl aldrig skriva någon annan funktion f(x) som bara fx ?

Klarafardiga 235 – Fd. Medlem
Postad: 24 sep 2017 12:48

Självklart Bubo! tack för hjälpen

Svara
Close