Cos2x=0

Hej, som rubriken lyder så ska jag lösa cos2x=0 $[0, 2 π]$

Följande tänkte jag :

$\cos 2 x = 0 \cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x - > \cos^{2} x - \sin^{2} x = 0 \cos^{2} x ä r s a m m a s a k s o m 1 - \sin^{2} x d å b l i r d e t f ö l j a n d e 1 - \sin^{2} x - \sin^{2} x = 0, d e t t a ä r s a m m a s a k s o m : 2 \sin^{2} x = 1, s e n d e l a r j a g b å d a s i d o r m e d 2 o c h f å r \sin^{2} x = \frac{1}{2} = \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}, m e n s o m j a g f ö r s t å t t d e t a v m i n l ä r a r e t ä n k e r j a g h e l t f e l, h u r s k a j a g l ö s a d e t t a ?$

Hur hade du gjort för att hitta alla lösningar till $\cos(x) = 0$ ?

Nja, fel och fel...

Du har gjort rätt, för om sin(x) är $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ så är cos(2x) lika med noll.

Men det finns ett mycket enklare sätt: Om cosinus av något är noll, vad kan då "något" vara?

Menar du att 1 skulle vara alla lösningar till $\cos(x) = 0$ ?

Om vi kollar vad $\cos(1)$ är så är inte det noll, så det är inte ens en lösning. Ta och kolla i enhetscirkeln, för vilka vinklar blir cosinus noll?

Du ska söka en vinkel sådan att cos(vinkeln) = 0.

Jaha, förlåt! Är lite förvirrad nu!

Den kan väl vara i radianer följande cos v=0 är $\frac{π}{2} o c h \frac{3 π}{2}$ ?

Ja det stämmer bra. Men om man ska finna alla så behöver man även lägga på hela perioder. Så man kan komprimera alla lösningar till

$\frac{\pi}{2} + \pi n$

Så om du vet att $\cos(x) = 0$ har dessa lösningar, kan du då använda detta för att hitta alla lösningar till $\cos(2x) = 0$ ?

Ja, det är två lösningar.

När ekvationen är sådan att man har givet sinus eller cosinus av 2x (eller 3x eller 15x eller x/42 eller...) kommer vi efter ett tag att behöva gå från

cos(v) = 0 till cos(2x) = 0

och då gäller det att se upp. Ifall vi begränsar v till [Noll, 2pi] så har vi av misstag begränsat x till [Noll, pi] för x är ju hälften av v.

Räkna alltså tills vidare med alla lösningar:

2x = pi/2 + N*2*pi och 2x = 3pi/2 + N*2*pi

som är exakt samma sak som

2x = pi/2 + N*pi (ser du varför?)

Ja okej! :) det förstod jag!

Då får jag fram L $\{\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}\}, m e n e n l i g t f a c i t s k a a l l a n ä m a n r e v a r a 4, h u r k o m m e r d e t t a s i g ?$ Jag ser ju på enhetscirklen att lösningen ska vara det, men förstår inte hur jag får fram det!

För $\frac{π}{2} + \frac{4 π}{2} = \frac{5 π}{2}$ , eller vad har jag missat?

Fast eftersom vi har att vi ska lösa $\cos(2x) = 0$ så måste det alltså gälla att

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Löser vi nu ut x så får man

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n$

Så nu söker vi lösningarna som ligger i intervallet [0, 2pi] vilket vi får för n = 0, 1, 2, 3. Dvs lösningarna är

$\frac{\pi}{4},\,\frac{3\pi}{4},\,\frac{5\pi}{4},\,\frac{7\pi}{4}$ .

Ja, självklart! Tack så hemskt mycket alla! :)

En sista fråga, spelar det någon roll om det står 2cosx=0 eller cos2x=0? Blir detta samma svar?

Ja, det är två helt olika saker.

2cosx skulle jag hellre skriva som 2*cos(x), alltså Dubbelt så mycket som cosinus för x.

cos2x skulle jag hellre skriva som cos(2x), alltså Cosinus för dubbla vinkeln.

Om x är pi/6 radianer (samma som 30 grader)

2*cos(pi/3) = 2 * sqrt(3)/2 = sqrt(3)

cos(2*pi/6) = cos(pi/3) = 1/2

Ta gärna för vana att alltid sätta en parentes runt funktionsvariabeln, alltså runt vinkeln: sin(v) och inte sinv.

Du skulle väl aldrig skriva någon annan funktion f(x) som bara fx ?

Självklart Bubo! tack för hjälpen

Svara

Visa senaste svar