contour integral

$\frac{e^{4iz}}{1+i-z}=\frac{-e^{4iz}}{z-(1+i)}$

Således

$$\begin{gathered} z_0=1+i \\ f\left(z\right)=-e^{4iz} \\ f\left(z_0\right)=? \end{gathered}$$

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{e^{4iz}}{1+i-z}=\frac{-e^{4iz}}{z-(1+i)}$

Således

$$\begin{gathered} z_0=1+i \\ f\left(z\right)=-e^{4iz} \\ f\left(z_0\right)=? \end{gathered}$$

varför vill du göra om funktionen till negativ? (asså ser bara inte varför det skulle bli lättare?)

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{e^{4iz}}{1+i-z}=\frac{-e^{4iz}}{z-(1+i)}$

Således

$$\begin{gathered} z_0=1+i \\ f\left(z\right)=-e^{4iz} \\ f\left(z_0\right)=? \end{gathered}$$

varför vill du göra om funktionen till negativ? (asså ser bara inte varför det skulle bli lättare?)

För att det skulle bli lättare att jämföra med cauchys formel. Man brukar inte tala om negativa tal i komplex analys.

PATENTERAMERA skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{e^{4iz}}{1+i-z}=\frac{-e^{4iz}}{z-(1+i)}$

Således

$$\begin{gathered} z_0=1+i \\ f\left(z\right)=-e^{4iz} \\ f\left(z_0\right)=? \end{gathered}$$

varför vill du göra om funktionen till negativ? (asså ser bara inte varför det skulle bli lättare?)

För att det skulle bli lättare att jämföra med cauchys formel. Man brukar inte tala om negativa tal i komplex analys.

Men stora gamma(betecknar den C här) där, |z| = 2. det betyder en cirkel med centrum i origo right? Så då får jag: 

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ såååå C=2 ??? 

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_0^2 \frac{e^{4zi}}{z-(1+i)}$ och om jag nite minns fel så ska man typ "se så nämnaren blir noll? eller?

då bör ju z vara $-1+i$ eller? :S

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

$\frac{e^{4iz}}{1+i-z}=\frac{-e^{4iz}}{z-(1+i)}$

Således

$$\begin{gathered} z_0=1+i \\ f\left(z\right)=-e^{4iz} \\ f\left(z_0\right)=? \end{gathered}$$

varför vill du göra om funktionen till negativ? (asså ser bara inte varför det skulle bli lättare?)

För att det skulle bli lättare att jämföra med cauchys formel. Man brukar inte tala om negativa tal i komplex analys.

Men stora gamma(betecknar den C här) där, |z| = 2. det betyder en cirkel med centrum i origo right? Så då får jag: 

 

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$ såååå C=2 ??? 

 

$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_0^2 \frac{e^{4zi}}{z-(1+i)}$ och om jag nite minns fel så ska man typ "se så nämnaren blir noll? eller?

då bör ju z vara $-1+i$ eller? :S

Du missar ett minustecken.

$f\left(z_0\right)=-e^{4i{z}_0}=-e^{4i(1+i)}.$

Notera att |z₀| = sqrt(2) < 2. Så z₀ är en inre punkt i det område som begränsas av cirkeln |z| = 2. 

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

PATENTERAMERA skrev:

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

Jaha 

$2\pi \cdot e^{4iz}$ ?

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

Jaha 

 

$2\pi \cdot e^{4iz}$ ?

$\underset{\left|z\right|=2}{\oint }\frac{e^{4iz}}{1+i-z}dz=-2\pi ·i·e^{4i(1+i)}=-2\pi ·i·e^{4(i-1)}=-2\pi ·i·e^{-4}·e^{4i}=2\pi ·e^{-4}·(\sin 4-i\cos 4)$.

Klart.

PATENTERAMERA skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

Jaha 

 

$2\pi \cdot e^{4iz}$ ?

$\underset{\left|z\right|=2}{\oint }\frac{e^{4iz}}{1+i-z}dz=-2\pi ·i·e^{4i(1+i)}=-2\pi ·i·e^{4(i-1)}=-2\pi ·i·e^{-4}·e^{4i}=2\pi ·e^{-4}·(\sin 4-i\cos 4)$.

Klart.

Varför -2pi? asså minus?

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

mrlill_ludde skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

Jaha 

 

$2\pi \cdot e^{4iz}$ ?

$\underset{\left|z\right|=2}{\oint }\frac{e^{4iz}}{1+i-z}dz=-2\pi ·i·e^{4i(1+i)}=-2\pi ·i·e^{4(i-1)}=-2\pi ·i·e^{-4}·e^{4i}=2\pi ·e^{-4}·(\sin 4-i\cos 4)$.

Klart.

Varför -2pi? asså minus?

Läs igenom tråden en gång till så fattar du. Titta på hur Cauchys formel ser ut. Du måste ju omforma integranden på ett sätt så att formeln blir tillämplig. Det står ju f(z)/(z-z₀) i formeln inte f(z)/(z₀-z).

PATENTERAMERA skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

mrlill_ludde skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Alltså, för att räkna ut integralen behöver du bara räkna ut

$2\pi if\left(z_0\right), med z_0=1+i, där f\left(z\right)=-e^{4iz}.$

Jaha 

 

$2\pi \cdot e^{4iz}$ ?

$\underset{\left|z\right|=2}{\oint }\frac{e^{4iz}}{1+i-z}dz=-2\pi ·i·e^{4i(1+i)}=-2\pi ·i·e^{4(i-1)}=-2\pi ·i·e^{-4}·e^{4i}=2\pi ·e^{-4}·(\sin 4-i\cos 4)$.

Klart.

Varför -2pi? asså minus?

Läs igenom tråden en gång till så fattar du. Titta på hur Cauchys formel ser ut. Du måste ju omforma integranden på ett sätt så att formeln blir tillämplig. Det står ju f(z)/(z-z₀) i formeln inte f(z)/(z₀-z).

devil in the details. Tackar ödmjukast för svar=)