Compute the flux through a cone in the positive z-axis

Min lösning är med hjälp av Divergence Theorem:

$\int \int \int D i v F d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{0}^{2} 2 z r d z d r d θ = 2 π \times 1 \times 4 = 8 π$

Liknande frågor brukar alltid ta in iden att man måste ta bort flödet ut/in från mantelarean från det totala värdet man får från $∭ D i v F d V$ . Vilket får mig att tro att facit som säger att $8 π$ är korrekt är fel. Det måste vara någon del där jag ska ta bort det som inte åker "upwards".

Kan detta i så fall vara det korrekta svaret?

$\int F d r = \int F " d o t " N d S = \int <y^{2} z, - x^{3} z, z^{2}> <0, 0, - 1> d S = \int_{0}^{2} - z^{2} d S = - \frac{8}{3}$

Tänk på hur Gauss sats är formulerad.

Flödet ut genom sluten yta = $\int \int \int d i v \vec{F} d V$ .

Nu vill vi beräkna flödet upp genom struten. Vi kan se det som flödet in genom den slutna ytan (där vi lägger ett ”lock” på struten) pluss flödet upp genom locket.

Dvs - $\int \int \int d i v \vec{F} d V$ + flödet upp genom lock = -8 $π$ +16 $π$ =8 $π$ .

PATENTERAMERA skrev:
Tänk på hur Gauss sats är formulerad.

Flödet ut genom sluten yta = $\int \int \int d i v \vec{F} d V$ .

Nu vill vi beräkna flödet upp genom struten. Vi kan se det som flödet in genom den slutna ytan (där vi lägger ett ”lock” på struten) pluss flödet upp genom locket.

Dvs - $\int \int \int d i v \vec{F} d V$ + flödet upp genom lock = -8 $π$ +16 $π$ =8 $π$ .

Det är på grund av Div F egentligen är positive ursprunglitvis och ifall det åker in mindre än vad som åker ut är det positivt. Det är omvänt typ, om den förlorar mer är det positivt än ifall ytan tar emot då blir det negativt.

Svara