Closure

Kan du visa en text där ordet closure används?

Om jag ska gissa så gissar jag att en funktion av ett helt intervall på det här sättet betyder mängden av alla funktionsvärden som man får när funktionen tillämpas på alla tal i intervallet.

Begreppet ”closure” har betydelsen ”slutna höljet” av en mängd. Om A är en mängd så är slutna höljet av A  lika med den minsta slutna mängd som omfattar A. I de uppgifter som du angivit kan jag inte se något som relaterar till begreppet i fråga.

Bruket av f[E] för att beteckna bilden av en mängd E under f förvånar mig. Det brukar betecknas f(E). Finns det i din text något som förklarar detta avvikande beteende?

Det här är ny matematik för mig och det  handlar inte om topologi, vilket jag anade bakom den lite avvikande beteckningen f[•]. Eftersom A=B=R⁺ i båda uppgifterna så är f en Endo-funktion enligt den givna deffen. Man ska alltså ta reda på den minsta delmängd Y av R^*  sådan att intervallet inom klammern samt f(Y) ryms i Y .

Och f(f(Y)) och f(f(f(Y))) osv.

Ja, men det jag inte förstår är att i uppgift 3 så gör man f(f(f(Y))) flera gånger tills man kommer fram till ]0, $\infty$[. Hur många gånger behöver man göra det för att komma fram till rätt svar?

I uppgift 4 är $f^{-1}\left(x\right) = x^{\frac{1}{4}}$ så jag fattar hur man kommer fram till 0 som den ena gränsen, men hur kommer man fram till att den andra gränsen är till och med 2? $f^{-1}\left(2\right)=2^{\frac{1}{4} }<2$

Den ursprungliga mängden X räknas med.

Vilken mängd X? Menar du att A = B = R^+ så därför borde det vara ]0, $\infty$[? Men detta stämmer ju inte för den andra uppgiften.

X i definitionen.

f(3)=3⁴=81. Vi är överens om att nedre gränsen är 0. Antag därför att Y=(0,a) där a< oändl. Men a>=81 och f(Y) delmgd av Y medför att Y måste omfatta (0, 81⁴) och så vidare, vilket strider mot att a< oändl. Jag tror att det är detta Laguna menar med f(f(f)…

Aha, ok. Men hur ska man resonera på uppgift 4?

Finns det nån uppgift 4? Det står 5.

Oj, förlåt. Menade uppgift 5.

Observera att det är f^-1 som ska undersökas för positiva x. Vi har således f^-1(x)=x^1/4 ==> 1<f^-1(2)<2, vilket medför att f^-1(Y) automatiskt blir en delmgd av Y. Återstår därför bara kravet att X är en delmgd av Y och X var ju ]0,2].