Cirklens ekvation

Vet du hur ekvationen för en cirkel med centrum i punkten (a,b) och med radien r ser ut?

Skriv om din ekvation så att den ser likadan ut, så att du får reda på r - sedan är det enkelt att beräkna arean.

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

Hej!

Cirkeln har medelpunkten $(1,0.5)$ och radien $r$ (som du ännu inte känner). Det betyder att cirkelns ekvation kan skrivas

    $\displaystyle (x-1)^2 + (y-0.5)^2 = r^2$.

Om du använder Kvadreringsregeln

    $\displaystyle (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

så kan du skriva cirkelns ekvation som

    $\displaystyle x^2-2x+1 + y^2-y+0.25 = r^2$

vilken du kan putsa till så att det står

    $\displaystyle x^2 - 2x + y^2 - y = r^2 - 1.25$.

Om du jämför detta med den givna ekvationen $x^2 - 2x + y^2 - y = 0.5$ så ser du att  $r^2 = 1.75$. Eftersom cirkelns area är lika med talet $\pi r^2$ så  kan du nu beräkna hur stor area den givna cirkeln har.

Albiki

Det du alltid vill göra när det gäller cirkelns ekvation, är att skapa en summa av två kvadrerade parenteser på ena sidan om likhetstecknet. Dessutom vill du också få ett ensamt tal på andra sidan likhetstecknet.

Man kan använda något som kallas kvadratkomplettering. Betrakta först x-termerna:

$x^2-2x=(x-1{)}^2-1$

Sedan alla y-termer:

$y^2-y=(y-0,5{)}^2-0,5^2=(y-0,5{)}^2-0,25$

Detta ger oss att ovanstående ekvation kan skrivas om som

$(x-1{)}^2-1+(y-0,5{)}^2-0,25=0,5$

Omskriven blir denna ekvation

$(x-1{)}^2+(y-0,5{)}^2=1,75$

Där alltså cirkelns radie är $\sqrt{1,75}$

Cirkelns area blir således

$1,75\pi$

Oj, tack för all hjälp ska kolla på den lite senare idag!