Cirklar mellan parallella linjer
Hitta nedstående uppgift på nätet och är lite osäker. Finns det någon snäll själ som kan vägleda mig lite?
I figuren nedan är två parallella linjer ritade. Mellan dessa inritas två cirklar som tangerar var sin linje och varandra. Tangeringspunkterna är A, B och C. Visa att dessa tre punkter ligger på en rät linje.
Har ritat en bild som förhoppningsvid kan hjälpa illustrerar hur jag tänkt:
Har alltså ritat en linje mellan punkterna A, B och C och sedan dragit radier från cirklarnas medelpunkter så att två likbenta trianglar bildas (två sidor i varje triangel motsvarar ju radier). Sedan tänker att om jag kan visa att alternatvinklar är lika stora (i detta fall rödmarkerade vinklarna vid de parallella linjer) så har jag visat att linjen genom punkterna är en transversal/rät linje. Jag tänker att jag kan göra det genom att utgå från att basvinklarna är lika stora i likbenta trianglar, och sedan att vinklarna vid den gula punkten är vertikalvinklar. Basvinklarna får jag fram genom att utnyttja att vinkeln i tang.punkten mellan radien och tangenten är rät. Är jag kanske helt helt ute och cyklar nu igen?
Jag kan inte riktigt följa med i hela ditt resonemang, men du verkar vara på rätt väg och ha de flesta pusselbitar du behöver för beviset. Att jag inte riktigt kan följa med beror mest på att jag inte vet vad du menar med vertikalvinklar.
Vill du klura vidare själv eller vill du att jag (eller någon annan) visar hur man kan göra ett bevis?
SvanteR skrev :Jag kan inte riktigt följa med i hela ditt resonemang, men du verkar vara på rätt väg och ha de flesta pusselbitar du behöver för beviset. Att jag inte riktigt kan följa med beror mest på att jag inte vet vad du menar med vertikalvinklar.
Vill du klura vidare själv eller vill du att jag (eller någon annan) visar hur man kan göra ett bevis?
Hej och tack för svar!
Jag tänkte mer på linjerna som korsar varandra vid den gula punkten. Runt två linjers skärningspunkter bildas ju 4:a vinklar och motsatta vinklar "vertikalvinklar" är ju lika stora. Jag tänkte att i och med att vertikalvinklarna (de röda vinklarna kring den gula punkten) är lika stora så måste basvinklarna i trianglarna vara lika. Fast jag har nog tänkt helt fel där..
Hade varit super snällt om du hade kunnat visa det ja :)
Dra en linje genom C som är vinkelrät mot de två parallella linjerna. Den kommer att gå genom den stora cirkelns medelpunkt (eftersom C är tangeringspunkt och en linje genom medelpunkten skär cirkeln i rät vinkel mot tangenten i tangeringspunkten). Vi kallar den linje 1.
Dra på samma sätt en linje genom A som är vinkelrät mot de två parallella linjerna. Den kommer att gå genom den lilla cirkelns medelpunkt (av samma anledning). Den är linje 2.
Linje 1 och 2 är parallella, eftersom de båda är vinkelräta mot två parallella linjer. Du har redan dessa linjer i din figur, men det kommer att hjälpa dig att se de relevanta vinklarna om du förlänger dem så att de går hela vägen mellan de parallella linjerna.
Dra nu en rät linje mellan cirklarnas mittpunkter. Den linjen kommer att gå genom B (om du inte vet varför det måste vara så så fråga!). Vi kallar den linje 3.
Linje 3 skär linje 1 och 2, som är parallella. Det betyder att du får samma skärningsvinklar. (Fråga om du inte förstår.) Detta använder du för att bevisa att topptrianglarna i dina två likbenta trianglar är identiska. Därmed vet du också att basvinklarna är identiska.
Och eftersom basvinklarna är skärningsvinklar mellan linje 3 och linjen mellan A, B och C så måste den vara rät.
Hoppas detta hjälpte, annars får du fråga!
Vad vertikalvinklar är (och att de är lika) finns med på formelbladet till NP i Ma2. Jag är så glad att det finns där, för namnet vertikalvinklar hör till det jag måste kolla upp varje år för att inte säga fel. Vertikalvinklar, sidovinklar, alternatvinklar - de är så lätta att blanda ihop! Likbelägna vinklar är lite lättare att komma ihåg.
Är det så du menar? "Den linjen kommer att gå genom B (om du inte vet varför det måste vara så så fråga!). Vi kallar den linje 3." - Jag förstår inte riktigt helt varför..
(OBS.Jag tror jag förstår hur du tänker nu: Medelpunktsvinklarna är alternatvinklar och då måste basvinklarna vara lika i trianglarna eftersom de är likbenta - då bildas två alternatvinklar mot de givna parallella linjern (horistontella) vilket betyder att linjen genom A, B och C måste vara rät?"
Ja, du har ritat som jag menar.
Om man har två cirklar som tangerar varandra och drar en linje från den ena mittpunkten till den andra kommer den linjen att gå genom cirklarnas tangeringspunkt. Det kan man bevisa så här:
Tänk dig en linje mellan cirklarna, som tangerar båda cirklarna i cirklarnas tangeringspunkt. En linje från den ena mittpunkten till tangeringspunkten kommer att vara vinkelrät mot tangenten. Det gäller även linjen från den andra mittpunkten. Alltså är det en rät linje.
Aha men behöver jag ”bevisa” detta på denna uppgift eller räcker det med att motivera att som du "En linje från den ena mittpunkten till tangeringspunkten kommer att vara vinkelrät mot tangenten. Det gäller även linjen från den andra mittpunkten. Alltså är det en rät linje.”
Är nästa steg som jag resonerade? Att medelpunktsvinklarna lika (alternatvinklar) då L2 och L1 är parallella? Du har skrivit "Linje 3 skär linje 1 och 2, som är parallella. Det betyder att du får samma skärningsvinklar. (Fråga om du inte förstår.) Detta använder du för att bevisa att topptrianglarna i dina två likbenta trianglar är identiska. Därmed vet du också att basvinklarna är identiska."
Är skärningsvinklarna toppvinklarna i de likbenta trianglarna och menar du att dessa är identiska för att de är alternatvinklar? Eller skulle du kunna förklara? Är helt med efter detta.
Förresten nu när jag förlängde L1 och L2 tänkte jag på Thales sats. Kan man lösa uppgiften så här istället:
Tog bort bilden innan men jag kan tycker verkligen att den jag bevisat att punkterna A, B och ligger på en rät linje via thales sats..Kan man göra så? Om inte skulle någon kunna vara snäll och förklara varför (hade verkligen behövt bekräftelse på det):
Jag börjar med att förtydliga mitt bevis. Nu har jag gjort lite egna bilder. Först en bild där jag har dragit tre räta linjer:
Jag har också markerat vilka vinklar som är lika stora. Så här långt tror jag du är med mig.
Nästa steg är att titta på de två alternativ som finns när linjer skär varandra i en punkt:
Här har vi linjer som skär varandra i P. Nyckeln är att förstå att om det bara är två räta linjer (som till vänster) kommer de två markerade vinklarna alltid att vara lika. Men om det inte är två linjer (som till höger) kommer vinklarna aldrig att vara räta. Därför kan man dra slutsatsen att om vinklarna är lika är det bara två räta linjer. (Till höger är det tre, men det skulle kunna vara fyra också.)
Nu kan jag rita likbenta trianglar i min första figur:
Jag har inte markerat vinkeln, men det är den nya som bildas vid punkten som heter B i den första figuren. De måste vara lika pga likbenta trianglar. Därför måste det vara två räta linjer som korsas.
Blev det klarare nu?
Väldigt snällt av dig! Uppskattas! Fattar precis hur du tänker nu. Allt blev så mycket tydligare.
Jag undrar verkligen om mitt tillvägagångssätt också är rätt. Det känns som att man även göra mitt sätt. Kan inte se något fel med det..Det du gör SvanteR är väl egentligen omvändningen av defintionen av vertikalvinklar: Två räta linjer <=> parvis motstående vinklar kring linjernas skärningspunkter är lika. ittät
En sista sak..
Satt och tänkte på en sak nu när jag äntligen förstått ditt bevis. Om man t.ex. utgår från exakt samma figur, bortser från de givna parallella linjerna och bara hade fått reda på att L1 och L2 är räta linjer (och inte parallella) som skäres av den räta linjen L3 som går genom cirklarnas medelpunkter. Och man vill visa att L1 och L2 är parallella - hur kan man då dra slutsatsen att de likbenta trianglarna har lika stora basvinklar? Du utgick ju från "Linje 3 skär linje 1 och 2, som är parallella. Det betyder att du får samma skärningsvinklar." Utifrån detta drog du slutsatsen att toppvinklarna blir lika och därmed måste basvinklarna också vara lika eftersom vi ju hade likbenta trianglar (hänger med helt här). Men om linjerna L1 och L2 nu inte är parallella som i det nya scenariot, så är ju inte heller de likbenta trianglarnas toppvinklar lika stora, och därmed kan man inte säga att de likbenta trianglarna har lika stora basvinklar vid punkten B.
Hitta denna bilden som kan beskriva det jag menar: Om linje 1 och linje 2 är räta linjer som skäres av en tredje rät linje som går mellan cirklarnas medelpunkter, hur kan jag dra slutsatsen att basvinklarna vid den lilla punkten är lika? Här kan jag inte säga att toppvinklarna är lika i de likbenta trianglarna eftersom jag inte vet något om att linje 1 och 2 är parallella..Då kan jag ju inte vara säker på att skärningsvinklarna du påpekade är lika stora och därmed att basvinklarna också är det?
Mathkhin skrev :En sista sak..
Satt och tänkte på en sak nu när jag äntligen förstått ditt bevis. Om man t.ex. utgår från exakt samma figur, bortser från de givna parallella linjerna och bara hade fått reda på att L1 och L2 är räta linjer (och inte parallella) som skäres av den räta linjen L3 som går genom cirklarnas medelpunkter. Och man vill visa att L1 och L2 är parallella - hur kan man då dra slutsatsen att de likbenta trianglarna har lika stora basvinklar? Du utgick ju från "Linje 3 skär linje 1 och 2, som är parallella. Det betyder att du får samma skärningsvinklar." Utifrån detta drog du slutsatsen att toppvinklarna blir lika och därmed måste basvinklarna också vara lika eftersom vi ju hade likbenta trianglar (hänger med helt här). Men om linjerna L1 och L2 nu inte är parallella som i det nya scenariot, så är ju inte heller de likbenta trianglarnas toppvinklar lika stora, och därmed kan man inte säga att de likbenta trianglarna har lika stora basvinklar vid punkten B.
Hitta denna bilden som kan beskriva det jag menar: Om linje 1 och linje 2 är räta linjer som skäres av en tredje rät linje som går mellan cirklarnas medelpunkter, hur kan jag dra slutsatsen att basvinklarna vid den lilla punkten är lika? Här kan jag inte säga att toppvinklarna är lika i de likbenta trianglarna eftersom jag inte vet något om att linje 1 och 2 är parallella..Då kan jag ju inte vara säker på att skärningsvinklarna du påpekade är lika stora och därmed att basvinklarna också är det?
Har prov imon och undrar verkligen om någon förklara det sista för mig! Vill verkligen ha stenkoll på detta! Hade varit riktigt snällt!
