Cirkelsektors omkrets och medelpunktsvinkel

En uppgift lyder så här:

Min lösning:

1) Om t.ex. radien är 10 l.e. så är cirkelns båge = 50 – 2 x 10 = 30 l.e.
Då ser vi genast att radien < 25 l.e. annars blir cirkelns båge = 0
Finns det då någon minsta gräns?
Om radien är 5 l.e . så är cirkelns båge = 50 – 2 x 5 = 40 l.e.
Ett helt varv är 5 x 6,28 = 31,4 l.e.
Så någonstans mellan 5 och 10 l.e. har vi en minsta gräns.

2) mv(r) = (50 – 2r) / r där mv = medelpunktsvinkeln, 50 – 2r = bågens längd och r = radien.

3) Radien måste var < 25 l.e. som vi konstaterade tidigare och mv(r) får inte bli större än $2πr$ . Alltså får inte bågens längd 50 – 2r vara större än cirkelns omkrets $2πr$ .
För att få det värdet som r måste vara större än så sätter vi de två ekvationerna lika med varandra. $2πr = 50 - 2r$ vilket ger r = 25 / ( $π$ +1)

4) Så mina svar är:
a) mv(r) = (50 – 2r) / r
b) Definitionsmängd är (25 / $π$ + 1) l.e. < r < 25 l.e
Värdemängd är 0 rad. < mv < 2 $π$ rad.

Facit har lika utom definitionsmängden som anges från 0 l.e.
Min fråga är har jag fel?

Jag har inte lusläst dina beräkningar, men jag håller med om att den lägre gränsen inte är noll, för sektorn kan bara vara upp till 360 grader.

Laguna skrev:
Jag har inte lusläst dina beräkningar, men jag håller med om att den lägre gränsen inte är noll, för sektorn kan bara vara upp till 360 grader.

Tack för svar! Lugnande besked för mig. Det är sällan fel i facit är min upplevelse så det var med en viss bävan jag lade ut frågan.

Det skulle vara värdefullt att få veta om den här tankegången är riktig som jag skrev ovan:
"3) Radien måste var < 25 l.e. som vi konstaterade tidigare och mv(r) får inte bli större än 2πr. Alltså får inte bågens längd 50 – 2r vara större än cirkelns omkrets 2πr.
För att få det värdet som r måste vara större än, så sätter vi de två ekvationerna lika med varandra. 2πr = 50 - 2r vilket ger r = 25 / (π+1)"

För att förtydliga min fråga.

Hur stor är definitionsmängden i uppgiften ovan?

Mitt svar: $\frac{25}{(π + 1)} < r < 25 l . e .$

Facits svar: $0 l . e . < r < 25 l . e .$

Ditt svar är rätt, svaret i facit är fel.

Jag skulle beskrivit lösningen så här:

Omkretsen $O=2r+b$ , där $r$ är radien och $b$ är cirkelbågens längd.

Om medelpunktsvinkeln $v$ anges i radianer så gäller att $b=vr$ , vilket ger oss sambandet $O=2r+vr$ .

Vi vet att omkretsen är 50 l.e. vilket ger oss $50=2r+vr$ , dvs $v=\frac{50-2r}{r}$ , som även jan skrivas $r=\frac{50}{2+v}$ .

Flr att det ska vara en cirkelsektir måste vinkeln $v>0$ , vilket innebär $50-2r>0$ , vilket innebär $r<25$ .

För att det ska vara en cirkelsektor måste vinkeln $v<2\pi$ , vilket innebär $r>\frac{50}{2+2\pi}$ , dvs $r>\frac{25}{1+\pi}$ .

Svar a: $v=\frac{59-2r}{r}$

Svar b: Definitionsmängd $\frac{25}{1+\pi}<r<25$ , värdemängd $0<v<2\pi$ .

Yngve skrev:
Ditt svar är rätt, svaret i facit är fel.
Jag skulle beskrivit lösningen så här:
Omkretsen $O=2r+b$ , där $r$ är radien och $b$ är cirkelbågens längd.
Om medelpunktsvinkeln $v$ anges i radianer så gäller att $b=vr$ , vilket ger oss sambandet $O=2r+vr$ .
Vi vet att omkretsen är 50 l.e. vilket ger oss $50=2r+vr$ , dvs $v=\frac{50-2r}{r}$ , som även jan skrivas $r=\frac{50}{2+v}$ .
Flr att det ska vara en cirkelsektir måste vinkeln $v>0$ , vilket innebär $50-2r>0$ , vilket innebär $r<25$ .
För att det ska vara en cirkelsektor måste vinkeln $v<2\pi$ , vilket innebär $r>\frac{50}{2+2\pi}$ , dvs $r>\frac{25}{1+\pi}$ .
Svar a: $v=\frac{59-2r}{r}$
Svar b: Definitionsmängd $\frac{25}{1+\pi}<r<25$ , värdemängd $0<v<2\pi$ .

Tack Yngve!

Jag tror att du hade lite bråttom när du skrev 😊 men jag fick min fråga besvarad. Vilket jag är mycket tacksam för.

ConnyN skrev:

Tack Yngve!
Jag tror att du hade lite bråttom när du skrev 😊 men jag fick min fråga besvarad. Vilket jag är mycket tacksam för.

Jag hoppas du menar stavfelen, så jag inte skrivit nägot annat tokigt 😀

Yngve skrev:
ConnyN skrev:
Tack Yngve!
Jag tror att du hade lite bråttom när du skrev 😊 men jag fick min fråga besvarad. Vilket jag är mycket tacksam för.
Jag hoppas du menar stavfelen, så jag inte skrivit nägot annat tokigt 😀

Jomen precis. Det var väl kanske 59 istället för 50 som stack ut mest, men som jag citerade häromdagen " i en gammal bok jag läste efter rättningsändringar "övriga fel rätta sig själva med läsarens benägna förstånd""
Det gäller här med tycker jag, så jag friskriver dig från ansvarsfrågan 😊

ConnyN skrev:

Jomen precis. Det var väl kanske 59 istället för 50 som stack ut mest, men som jag citerade häromdagen " i en gammal bok jag läste efter rättningsändringar "övriga fel rätta sig själva med läsarens benägna förstånd""
Det gäller här med tycker jag, så jag friskriver dig från ansvarsfrågan 😊

Mycket vänligt, det tackar jag för 🙏

👍

Jag ställde frågan till förlaget och fick följande svar:

Hej Conny!
Kul att du gillar Origo! Angående uppgift 42 på blandade uppgifter har du helt rätt. Mig veterligen är det ingen som tidigare påpekat detta fel, så du ska ha stort tack.
Lycka till i dina vidare studier och tveka inte att ta kontakt om du upptäcker fler tokigheter.
Vänligen,
Thomas Aidehag
Förlagsredaktör/Editor

Trevligt med respons och förstärker absolut min positiva syn på Matematik Origo.

Kändes bra för självförtroendet och tack än en gång Yngve att du backade upp mig!

Svara

Visa senaste svar