Cirkelsektorns medelpunktsvinkel

Hej, jag behöver hjälp med en uppgift.

"Ur en cirkelskiva utskärs en cirkelsektor och denna hopböjs sedan till en koniska tratt. Vilken medelpunktsvinkel ska sektorn ha för att trattens volym ska bli så stor som möjligt?"

Jag vet att konens volym är V=π r^2h/3 och att radien på den stora cirkeln, R, kommer vara sidan på tratten, därmed är h= $\sqrt{R^{2} - r^{2}}$ . => V= $\frac{π}{3} r^{2 \times \sqrt{R^{2} - r^{2}}} = \frac{π}{3} \sqrt{r^{4}} \times \sqrt{R^{2} - r^{2}} = \frac{π}{3} \sqrt{R^{2} r^{4} - r^{6}}$

Jag vet att R är en konstant, men jag vet inte hur jag ska lösa ut den, och därför sätter jag R=1 (även om det inte är en algebraisk lösning, jag vill gärna ha hjälp med hur jag ska kunna lösa den algebraiskt) och då blir V= $\frac{π}{3} \times \sqrt{r^{4} - r^{6}}$ . Jag skriver in det på desmos och låter desmos derivera (för att jag inte vet hur jag deriverar ett rotuttryck). Då kommer jag fram till att r=0.816.

Sedan vet jag att cirkelns rand, b, är samma sak trattens bottenscirkels omkrets (b=O=2 $πr$ ). Jag vet också att b= $\frac{v}{360 °} \times 2 πR$ .

v= cirkelsektorns medelpunktsvinkel

$\frac{v}{360 °} \times 2 πR$ = 2πr =>r= $\frac{v}{360 °} \times R$ => v= $\frac{r}{R} \times 360 °$

Då sätter jag in r=0.816 och R=1 och får fram att v=293,76 °, vilket är ungefär rätt svar (facit säger 293,9 °).

Det som jag vill ha hjälp med är hur jag ska lösa det här algebraisk, alltså hur ska jag lösa det utan att sätta R=1?

I ditt uttryck för volymen (innan du sätter R=1) kan du byta r = tR, där t=v/360 (bara för att få lite enklare uttryck).

Du får efter lite förenkling $V = \frac{π R^{3}}{3} \sqrt{t^{4} - t^{6}}$ som har maximum när t⁴- t⁶ har maximum.
Så det räcker att derivera det uttrycket.

Annars hade du kunnat använda ditt volymuttryck med R=1 och deriverat r⁴ - r⁶,
som ger max för r = $\sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0, 8165$ .

Okej, tack. Men finns det inget sätt att lösa uppgiften UTAN att sätta R=1? På prov brukar man inte få full poäng om man inte löser uppgiften algebraiskt. Att sätt in R=1 är ju inte en algebraisk lösning

I det jag visade först är R inte satt till 1.

Sedan vet jag inte om lösningen blir mindre algebraisk om du använder R som längdenhet.
Konstanten R har ju ingen påverkan på resultatet.
Då är det väl en större förenkling att resonera som jag gjorde när jag reducerade problemet till att handla om t⁴- t⁶.

Louis skrev:
I det jag visade först är R inte satt till 1.

Sedan vet jag inte om lösningen blir mindre algebraisk om du använder R som längdenhet.
Konstanten R har ju ingen påverkan på resultatet.

Okej, jag ber om ursäkt, jag måste ha missförstått dig tidigare. Kan du förklara hur du förenklar V till V= $\frac{{πR}^{3}}{3} \sqrt{t^{4} - t^{6}}$ . Jag förstår inte hur då får $R^{3}$ , i täljaren.

Du får R⁶ i båda termerna under rottecknet som blir R³ utanför. Ska jag visa utförligare?

Ja tack gärna.

Du har skrivit ett uttryck för volymen med R²r⁴ - r⁶ under rottecknet.
Du har också skrivit att r = vR/360.
v/360 bytte jag av bekvämlighet mot t, så att r = tR.
Det sätter jag in i uttrycket på första raden: R²(tR)⁴ - (tR)⁶ = t⁴R⁶ - t⁶R⁶ = R⁶(t⁴ - t⁶),
där R⁶ under rottecknet blir R³ utanför.
Kvar under rottecknet har du bara t⁴ - t⁶, som är vad du deriverar.

Okej jag förstår förenklingen, tack så mycket. Är det så att man bara deriverar det under rottecknet (alltså $t^{4} - t^{6}$ ) för att resten i uttrycket är konstanter och inte påverkar vilket t som ger maximumvärde? Och varför får $t^{4} - t^{6}$ samma t koordinat för maximum värdet, som $\sqrt{t^{4} - t^{6}}$ ?

Det är kanske snyggare och mer fullständigt att derivera hela uttrycket, där konstanterna utanför rottecknet inte får någon inverkan. Men om man inte vet hur man deriverar en rot funkar det i det här fallet att bara derivera det som är under rottecknet. Varför kan man göra det? Ja, om a > b så är $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ .
När t⁴-t⁶ maxar gör även roten det.

Jag kollade i Matteboken och det verkar som att derivering av sådana här sammansatta funktioner är något man lär sig i Matte 4.

Okej, då kanske den här uppgiften är lite överkurs för mig som läser matte 3. Jag tror ändå jag förstår lite, tack så mycket för hjälpen!

Svara

Visa senaste svar