Cirkelns ekvation

SiriJansson skrev:

Hej!

Uppgiften lyder: Bestäm radie och medelpunkt i cirkeln som ges av x² - 4x + 3 + y² - 7y = 0.

Jag förstår att man ska försöka härleda till formen (x - x₀)² + (y + y₀)² = r² . I svaret så har de hoppat lite väl drastiskt från ursprungsformeln till (x-2)² - 4 +3 + (y -7/2)² - 49/4 = 0. Det jag inte förstår är hur de lyckades ta sig dit. Någon som vill hjälpa?

Den brutala metoden:

Börja med ekvationen $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$.

Multiplicera ut kvadraterna i vänsterledet.

Samla alla termer på ena sidan i ekvationen. Både denna ekvation och den ekvation du fått given ska uttrycka samma samband mellan $x$ och $y$.

Sätt ekvationerna lika med varandra.

För att denna nya ekvation ska gälla måste $x^2$-termerna, $x$- termerna, $y^2$-termerna, $y$-termerna samt konstanttermerna vara identiska på båda sidor av likhetstecknet. Det ger dig ekvationer för $x_0$, $y_0$ och $r$.

Den smarta metoden:

Genvägen de tar är att de kvadratkompletterar uttrycken $x^2-4x$ och $y^2-7y$ i vänsterledet för att direkt komma fram till uttrycken $(x-x_0)^2$ och $(y-y_0)^2$.