Analytisk geometri

Detta går att lösa med trigonometri, eller med avståndsformeln, men är detta verkligen en fråga från ett högskoleprov? För att lösa detta med avståndsformeln/Pythagoras sats: Kalla den okända punkten för A = (x, y). Då kan vi sätta avståndet mellan punkterna (-1, -1) och A, lika med avståndet mellan (3, 1) och A, eftersom triangeln är liksidig. Vi vet dessutom att detta avstånd ska vara lika med roten ur 20. Kan du ställa upp någon/några ekvationer för att lösa detta problem? 

Menar du att det är från ett intagningsprov för ett universitet?

Avdelningen för Högskoleprov är reserverad för det som specifikt rör Universitets- och högskolerådets tvååriga studiefärdighetsprov.

Varför är rubriken "Cirkelns ekvation"?

Jag skulle dra höjden i triangeln. Dess längd är lätt att räkna ut, och dess utgångspunkt och riktning också.

Tack för svar. Jag testa med den första metoden, att ställa upp ett ekvationssystem men det känns som jag missar någonting

 $$\begin{gathered} \sqrt{(x-b{)}^2 - (y-c{)}^2} = x^2 - 2x \times b + c^{2 } + y^{2 } - 2y\times c + c^2 \\ {x}^{2 } -2x \times 3 + 3^{2 } + y^2 - 2y \times 1 + 1^{2 } = \sqrt[]{20} \\ {x}^{2 }- 2x \times \left(-1\right) +\left(-1\right) + y^2 - 2y \times \left(-1\right) + (-1{)}^{2 } =\sqrt[]{20} \end{gathered}$$

Använder jag sedan eliminationsmetoden får jag följande: 

$$\begin{gathered} -(x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10) \sqrt{20} \\ x^{2 } + 2x + y^{2 } + 2y + 2 = \sqrt{20} \\ = 8x +4y - 8 = \sqrt{20} \end{gathered}$$

Hur tar jag nu reda på x och y? 

Om jag istället hade använt mig av riktningskoefficienten för normalen, hur kommer jag då fram till vad koordinaterna är? 

(Jag märkte nu att jag  använt fel rubrik, gäller alltså ej cirkelns ekvation. Högskoleprov är det inte heller. Jag repeterar endast matten från gymnasiet) 

(Jag märkte nu att jag använt fel rubrik, gäller alltså ej cirkelns ekvation. Högskoleprov är det inte heller. Jag repeterar endast matten från gymnasiet)

abcdefg, det står i Pluggakutens regler att du skall se till att ge dina trådar vettiga rubriker och att du skall lägga dem på rätt nivå. Du har fått flera frågor om ifall detta verkligen är högskoleprovet, som du inte har behagat svara på förrän nu. Vilken nivå skall dina frågor ligga på? Du kan inte flytta dem själv, eftersom de är äldre än 2 timmar, utan någon av oss moderatorer behöver hjälpa dig med det. Och vilken (korrekt) rubrik vill du ge den här frågan? Du kan svara i den här tråden. /moderator

Ni kan flytta tråden till matte 3 med rubriken "analytisk geometri" förslagsvis

abcdefg skrev:

Tack för svar. Jag testa med den första metoden, att ställa upp ett ekvationssystem men det känns som jag missar någonting

 $$\begin{gathered} \sqrt{(x-b{)}^2 - (y-c{)}^2} = x^2 - 2x \times b + c^{2 } + y^{2 } - 2y\times c + c^2 \\ {x}^{2 } -2x \times 3 + 3^{2 } + y^2 - 2y \times 1 + 1^{2 } = \sqrt[]{20} \\ {x}^{2 }- 2x \times \left(-1\right) +\left(-1\right) + y^2 - 2y \times \left(-1\right) + (-1{)}^{2 } =\sqrt[]{20} \end{gathered}$$

Använder jag sedan eliminationsmetoden får jag följande: 

$$\begin{gathered} -(x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10) \sqrt{20} \\ x^{2 } + 2x + y^{2 } + 2y + 2 = \sqrt{20} \\ = 8x +4y - 8 = \sqrt{20} \end{gathered}$$

Hur tar jag nu reda på x och y? 

Hur har du gjort denna beräkning? Hur ser ekvationen du vill ställa upp ut, på ren svenska? Det ser nästan ut som cosinussatsen, men vad är det du beräknar då? :)

Om jag istället hade använt mig av riktningskoefficienten för normalen, hur kommer jag då fram till vad koordinaterna är? 

Då får du göra som Laguna säger (vilket nog är den bästa metoden, såhär i efterhand). Hitta mittenpunkten på den givna sträckan, och gå i normalens riktning tills du hittat punkten A. :)

Jag skulle nog bara roterat den givna vektorn 60 grader ($\theta = 60^{\circ}$). Då erhålls nästa sida (eftersom alla är lika långa).

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Tack för era svar. Men jag förstår fortfarande inte hur jag jag kommer fram till den tredje punktens x- och y-koordinater. Kan du förklara rent praktiskt hur jag "går i normalens riktning tills jag hittar punktA"? 

abcdefg skrev:

Tack för svar. Jag testa med den första metoden, att ställa upp ett ekvationssystem men det känns som jag missar någonting

 $$\begin{gathered} \sqrt{(x-b{)}^2 - (y-c{)}^2} = x^2 - 2x \times b + c^{2 } + y^{2 } - 2y\times c + c^2 \\ {x}^{2 } -2x \times 3 + 3^{2 } + y^2 - 2y \times 1 + 1^{2 } = \sqrt[]{20} \\ {x}^{2 }- 2x \times \left(-1\right) +\left(-1\right) + y^2 - 2y \times \left(-1\right) + (-1{)}^{2 } =\sqrt[]{20} \end{gathered}$$

Det verkar som om du tänkt rätt. Om vi analyserar situationen närmre har vi ungefär följande triangel:

Där vår sökta punkt är (x, y). Då kan vi bygga två rätvinkliga trianglar som innehåller den kända sidan på $\sqrt{20}$ l.e:

Den röda och blå triangeln ger med pythagoras sats att:

$(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=20$           (röd)

$(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=20$           (blå)

Genom möblering kommer dessa ekvationer ge oss följande relation:

$y=-2x+2$

Vilket är samma sak som ekvationen för linjen som delar triangeln i två delar vid nedre linjens mittpunkt. Hursomhelst kan vi stoppa in denna relation i första ekvationen för den röda triangeln:

$(x-3{)}^2+(-2x+2-1{)}^2=20$

$$\begin{gathered} x^2-6x+9+4x^2-4x+1=20 \\ 5x^2-10x+10=20 \\ {x}^2-2x-2=0 \\ x=1\pm \sqrt{3} \end{gathered}$$

Där det naturligtvis är den negativa lösningen som är den vi söker. Detta ger den sökta punkten som:

$\left\{\begin{array}{l}x=1-\sqrt{3}\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$

Svar till tomas80:
Så elegant! Lär man sig det redan i gymnasiet?

Svar till abcdef:
Det är rätt tänkt, men det har blivit en del fel på vägen. Du talar inte om vad det är du gör. Det borde du ha gjort. Trots det försöker jag mig på lite tankeläsning för att se  vad det är du har gjort:

Rotuttrycket är nog tänkt att vara avståndet mellan (x, y) och (b, c), men ett viktigt tecken har blivit fel. Kolla avståndsformeln igen.

Sedan utvecklar du uttrycket under rotmärket och där finns flera fel. Kolla igen!

Dessutom har du tappat rotmärket på vägen, så likheten gäller inte. Vänstra ledet är ett avstånd, men högra ledet blir då kvadraten på detta avstånd. 

Så sätter du in  (3, 1) i uttrycket i stället för (b, c) och sätter det lika med längden på sidan. Men det blir galet eftersom uttrycket anger kvadraten på avståndet. Samma sak med nästa rad, där du satt in den andra punkten, (-1, -1).

Sedan eliminerar du kvadrat-termerna och får fram ekvationen för en rät linje.

Det här är inte svårt att rätta till. Kom igen när du har gjort det!
Tala då också om vad det för rät linje som kommer fram där på slutet. Rita.

Tack!