cirkelintegral för x dy för halvcirkeln

Fick du att y=a sin(t)? Vad är derivatan av a sin(t)?

varför skulle jag beräkna derivatan av y ? Är det för att jag gör ett avriabelbyte med y ? men jag tänkte att jaobianen rättar till det (jacobianen = a). Jaha du menar att man skall använda sig av ${\int }_{}^{}F\left(r\right(t\left)\right)·r\text{'}\left(t\right)$

men blir inte det $\int \left[\begin{array}{c}a\cos t\\ 0\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}-a\sin t\\ a\cos t\end{array}\right]dt$

solaris skrev:

...

men blir inte det $\int \left[\begin{array}{c}a\cos t\\ 0\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}-a\sin t\\ a\cos t\end{array}\right]dt$

Och vad blir det, när du multiplicerar ihop det?

Blir det inte  -$a^2\sin \left(2t\right)$0.5

Vad blir $\left[\begin{array}{c}a \cos t\\ 0\end{array}\right]·\left[\begin{array}{c}-a \sin t\\ a \cos t\end{array}\right]$?

Jag skrev ju det. Det är ju skalärmultiplikation. Så a*cost*(-a*sint)+0*(acost) = -a^2costsint = (sintcost = 0.5sin2t) = -0.5*a^2*sin2t.

Har jag fel? För det här är inte samma som i facit. Dvs $a^2{\cos }^2\left(t\right)$

Vilken är integralen du skall beräkna? Är det denna?

$\displaystyle\int_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy$

I facit delar man upp denna integral i två och integrerar fältets $x$-komponent ($y$) och fältets $y$-komponent ($x$) separat, d.v.s.

$\displaystyle\int_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy=\int_{\mathcal{C}}y\ dx+\int_{\mathcal{C}}x\ dy$

När du skall beräkna

$\displaystyle\int_{\mathcal{C}_2} y\ dx=$

får du att $\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=(a\sin(t),0)$ (eftersom $\mathbf{F}=(y,0)$). Det ger istället skalärprodukten:

$=\displaystyle\int_0^\pi\left(a\sin\left(t\right),0\right)\cdot\left(-a\sin\left(t\right),a\cos\left(t\right)\right)\ dt=...=-\frac{\pi a^2}{2}$

vilket är samma som facit kommit fram till.

Jag måste även nämna ett annat sätt att lösa den här uppgiften, nämligen Greens formel! Jag vet inte om du lärt känna den fullt ut, men den säger nämligen att för en sluten kurva $\gamma$ som innesluter området $D$ gäller:

$\displaystyle\oint_\gamma P\ dx+Q\ dy=\iint_D\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\ dxdy$

I vårt fall är detta väldigt gynnsamt. Eftersom vår kurva definieras som randen till halvcirkelskivan $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2,y\geq0\}$ och $P=y$ och  $Q=x$ ger Greens formel direkt:

$\displaystyle\oint_{\mathcal{C}}y\ dx+x\ dy=\iint_D 1-1\ dxdy=\iint_D 0\ dxdy=0$

Och med så få beräkningar kan vi konstatera att integralens värde är noll!

Tack! jag misade att $\int x dy , då är F =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{c}0\\ x\end{array}\right] och inte \left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]$

:D

solaris skrev:

Tack! jag misade att $\int x dy , då är F =\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{c}0\\ x\end{array}\right] och inte \left[\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right]$

:D

Just precis.