Cirkel tangerar y=x uppgift 5018 d (Matematik/Matte 3/Trigonometri)

Om cirkeln skall tangera linjen y = x så behöver radien på cirkeln vara precis det kortaste avståndet ifrån cikelns mittpunkt till linjen. Kan du ta fram det avståndet?

Om cirkeln tangerar linjen x=y så innebär det att den nätt-och-jämnt snuddar vid linjen.

Vad händer om vi successivt utökar radien på en cirkel med centrum i (-4,2)?

Till en början så når den inte till x=y.

Sedan når den läget där den nätt och jämnt snuddar vid x=y.

Sedan om vi fortsätter kommer cirkeln överlappa x=y så att den nuddar vid i två punkter.

Vad detta illustrerar är att cirkeln först kommer nudda i en punkt och det är det läget som vi letar efter.

För att hitta detta läge måste man hitta den punkt på linjen som ligger närmast cirkelns centrum, ta reda på hur stort avståndet mellan punkten på linjen och cirkelns centrum är, och sätta in detta i cirkelns ekvation.

Det kanske räcker att titta i din skiss för att hitta denna punkt på linjen.

Hur kan jag ta reda på avståndet mellan cirkelns centrum och punkten i linjen y=x. Jag hänger inte riktigt med på hur jag ska tänka

Använd det tips om sambandet mellan cirkelns tangent och diameter som jag gav dig i detta svar

Du kan till exempel ta fram en linjal, mäta avståndet i din skiss mellan cirkelns medelpunkt och en godtycklig punkt på linjen.

Efter att du gjort det, gör samma sak igen fast på en annan punkt på linjen, som ligger alldeles bredvid den första. Om avståndet mellan cirkelns mittpunkt och punkt 1 var större än avståndet mellan cirkelns mittpunkt och punkt 2 så tyder det på att du hittat en punkt på linjen som låg närmre mittpunkten. Då kan du fortsätta med att se om du tar en punkt bredvid punkt 2 som ligger längre från punkt 1, och se om avståndet fortsätter att minska. På samma vis om avståndet ökade kan du leta på andra sidan om punkt 1 i stället. Efter att du gjort det ett tag kanske du kan komma på vilken punkt som på linjen som ligger närmast mittpunkten.

Ska man anta att

x^2 + y^2=1

och att 1*x=-1

där lutningen på cirkelns radie är -1? Elr

Nej utgå från den figur du ritade här.

Gör cirkeln större så att den tangerar linjen y = x.

Använd sedan tipset du fick i mitt förra svar.

Du kan alternativt använda kunskapen om att vinkeln mellan radien och tangenten är 90 grader.
Dvs produkten av deras k-värden =-1

Då kan du teckna k med hjälp av koordinaterna för medelpunkten (-4,2) och tangeringspunkten (x,y)
För tangeringspunkten kan du använda kunskapen att den ligger på linjen y=x, dvs du kan sätta y=x

Då får du en ekvation i x som du kan lösa

Slutligen avståndsformeln för att beräkna radien

Henning skrev:
Du kan alternativt använda kunskapen om att vinkeln mellan radien och tangenten är 90 grader.
Dvs produkten av deras k-värden =-1

Då kan du teckna k med hjälp av koordinaterna för medelpunkten (-4,2) och tangeringspunkten (x,y)
För tangeringspunkten kan du använda kunskapen att den ligger på linjen y=x, dvs du kan sätta y=x

Då får du en ekvation i x som du kan lösa

Slutligen avståndsformeln för att beräkna radien

Menar du tangenten för cirkelns radie eller?

Ja, tangenten mellan cirkeln och linjen y=x

Tangenten för cirkelns radie blir väl

y=-x? Elr

Vad menar du med tangenten för cirkelns radie?
Menar du cirkelns radie?
För det står ju i uppgiften att tangenten är y=x

Jag menar ekvationen för cirkelns radie

Katarina149 skrev:
Tangenten för cirkelns radie blir väl

y=-x? Elr

Nej.
Däremot har den k=-1

Om du använder formeln för k får du: $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Här har du punkten (-4,2) - cirkelns medelpunkt resp (y,x) - tangeringspunkten
Men eftersom tangeringspunkten är på linjen y=x så kan du ersätta y med x för denna punkt.

Det innebär att du får uttrycket $k = \frac{- 2 - x}{4 - x}$
Och detta k-värde har du bestämt till -1

Vad blir då x?

Förlåt nu hänger jag inte med på vad det är vi räknar ut..

Vi räknar ut/sätter upp ett uttryck för riktningskoefficienten för radien mot tangenten i punkten (x.y)
Se bilden nedan.
Och vi har kommit fram till att den har värdet -1, vilket ger oss en ekvation för att kunna beräkna värdet på x (och därmed även y)

Är detta rätt?

Henning skrev:
Katarina149 skrev:
Tangenten för cirkelns radie blir väl

y=-x? Elr

Nej.
Däremot har den k=-1

Om du använder formeln för k får du: $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Här har du punkten (-4,2) - cirkelns medelpunkt resp (y,x) - tangeringspunkten
Men eftersom tangeringspunkten är på linjen y=x så kan du ersätta y med x för denna punkt.

Det innebär att du får uttrycket $k = \frac{- 2 - x}{4 - x}$
Och detta k-värde har du bestämt till -1

Vad blir då x?

Nej.

Men jag ser att jag skrivit fel i beräkningen av k ovan.

Det ska vara $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} o c h m e d i n s a t t a k o o r d i n a t e r k = \frac{2 - x}{- 4 - x}$

Och värdet på k=-1 vilket ger ekvationen $- 1 = \frac{2 - x}{- 4 - x}$

Detta ger lösningen x=-1 samt då y-koordinaten y=-1 - Vi har nu punkterna (-4,2) och (-1,-1)

Slutligen, Avståndsformeln för att beräkna cirkelns radie - $r = \sqrt{{(- 4 - (- 1))}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{2}$

Slutligen, cirkelns ekvation: ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(3 \cdot \sqrt{2})}^{2}$

Dvs ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 18$

Jag förstår inte varför du beräknar k värdet? Vad är den lutningen till för?

Henning skrev:
Henning skrev:
Katarina149 skrev:
Tangenten för cirkelns radie blir väl

y=-x? Elr

Nej.
Däremot har den k=-1

Om du använder formeln för k får du: $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Här har du punkten (-4,2) - cirkelns medelpunkt resp (y,x) - tangeringspunkten
Men eftersom tangeringspunkten är på linjen y=x så kan du ersätta y med x för denna punkt.

Det innebär att du får uttrycket $k = \frac{- 2 - x}{4 - x}$
Och detta k-värde har du bestämt till -1

Vad blir då x?

Nej.

Men jag ser att jag skrivit fel i beräkningen av k ovan.

Det ska vara $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} o c h m e d i n s a t t a k o o r d i n a t e r k = \frac{2 - x}{- 4 - x}$

Och värdet på k=-1 vilket ger ekvationen $- 1 = \frac{2 - x}{- 4 - x}$

Detta ger lösningen x=-1 samt då y-koordinaten y=-1 - Vi har nu punkterna (-4,2) och (-1,-1)

Slutligen, Avståndsformeln för att beräkna cirkelns radie - $r = \sqrt{{(- 4 - (- 1))}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3 \cdot \sqrt{2}$

Ska det inte vara

2-y/(-4-x)?

Detta är jag med på

Detta är det enda jag lyckats uppfatta

Det är en möjlighet att skapa en ekvation för att få fram koordinaterna för tangeringspunkten - som jag kallar (x,y)
Men eftersom den punkten ligger på linjen y=x så kan jag kalla koordinaterna för (x,x) i detta fall.

Och då kan jag sätta upp ett uttryck för k för radien uttryckt i enbart x.

Slutligen 'vet' jag att denna linjes k-värde är =-1

Varför kan du kalla den för (x,x)? Är det för att x är detsamma som y?

Ja, precis.

Alla punkter på linjen y=x har samma värde på x- och y-koordinaten

Får jag fråga en sak, jag höll också på med den frågan och undrar varför man bestämmer k värdet till - 1? Har det o göra med att cirkelns medelpunktens tangent har en negativ rät linje dvs y=-1x k=-1. Eftersom dessa två är vinkelräta kan man använda k1*k2=-1

En linje som tangerar en cirkel är alltid vinkelrät mot den radie som går mellan tangeringspunkten och medelpunkten.

Därför vet vi att denna radies riktningskoefficient $k_1$ och den tangerande linjens riktningskoefficient $k_2$ uppfyller sambandet $k_1\cdot k_2=-1$ .

Eftersom den tangerande linjen är y = x så har den riktningskoefficienten 1 och radien har därmed riktningskoefficienten -1.