Cirkel som tangerar en rät linje

Här är en liten skiss av situationen: 

Vilka sträckor finns mellan dessa punkter, och vilka längder har de?

$$\begin{gathered} \left|AP\right|=5 \\ \left|AQ\right|=4 \\ \left|PQ\right|=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left|AM\right|=r \\ \left|PM\right|=r \end{gathered}$$

Likbent triangel med sidorna AP, r och r. Inget som poppar upp i mitt huvud av det hehe.

Tangenten, har den nån ekvation?

Cirkeln har också en ekvation

Linjen qp har en riktningskoeff som hänger ihop med tangentens riktning

Cirkelns derivata i tangeringspunkten har en relation till tangentens riktning

Inga punkter är fixa så vi kan lägga ett koordinatsystem var vi vill

Kan ovanstående ge någon ide till lösning?

(obs: jag har inte löst uppgiften, bara funderat lite på hur jag skulle angripa problemet)

@Ture: Intressant metod! Min tanke var följande (men din metod kan nog vara mer effektiv): Vi får en rätvinklig triangel om vi drar sträckan AP. Längden av AP är 5 pga. Pythagoras sats, och då har vi följande situation: 

Vinkeln MAQ är 90 grader eftersom linjen är en tangent till cirkeln, och då kan vi beräkna storleken hos vinkeln alfa. Därefter kan vi använda trigonometri för att hitta r. :)

@Ture tangentens ekvation är $-\frac{3}{5}x$

linjen qp har ekvationen $\frac{5}{3}x$

cirkelns derivata i tangeringspunkten är samma som tangentens derivata $-\frac{3}{5}$

Får inga idéer till lösning av det här, får du det?

Radien är vinkelrät vid tangenten i punkten A. Enligt smutstvätt kan man beräkna vinkeln alfa. Därmed vet man vinklarna i basen i P och A. Därmed är det nästan klart.

Jag vet inte om arcusfunktionerna ingår i Matte 4.

Med beteckningar enl. Smutstvätt:s figur får man  snabbt att

$M=2\arccos (4/5)$.

Med cosinussatsen är det sedan relativt smärtfritt att bestämma radien r.

Varför cosinussatsen? Vi kan ta fram att vinkeln alfa är $\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)$, dvs. vinkeln MAP är $\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)$, och sinus av den vinkeln, multiplicerat med fem, är vår radie r. Om ett svar i decimalform ska tas fram blir det kanske värre dock? Eller vänta nej, det går väl också att beräkna?

$5\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\right)=5\left(\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\cos \left(\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\right)-\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)\sin \left(\arcsin \left(\frac{3}{5}\right)\right)\right)$

Absolut en god lösning Smutstvätt  - men återigen kommer vi inte ifrån  arcusfunktioner.

Ska vi ta fram radien exakt finns väl ingen annan möjlighet.

Nej, det är sant. Arcusfunktionerna ingår i Ma4, så det är nog lugnt, även om det kanske krävs lite pill för att få till $\cos\left(\text{arcsin}\left(\frac35\right)\right)$. :)

På det här provet är det inte tillåtet med räknare, så svårt att räkna ut arcsin$\frac{3}{5}$

Trigonometri behövs inte:

Eller i och för sig behöver man aldrig veta vad arcsin av den vinkeln är. 

$5\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-arc\sin \left(\frac{3}{5}\right)\right)=4$

Rätt svar ska vara 25/6

Du behöver ingen trigonometri. Notera den rätvinkliga triangeln som uppstår i bilden jag skickade. Där kan du ställa upp Pythagoras sats.

Här följer en lösning som inte utnyttjar någon trigonometri:

Situationen ser ut så här.  Pythagoras sats ger enkelt att $|AP|=5$. Kallar vi vinklarna $\angle APQ$ och $\angle PAQ$ för $a$ respektive $b$ inses att $\angle MAP=90^\circ-b=a$, eftersom radien är vinkelrät mot tangenten. Då triangeln är likbent följer att även $\angle APM=a$. Triangelns vinkelsumma ger då $\angle AMP=180^\circ-2a=2(90^\circ-a)=2b$.

En likbent triangel kan med en bisektris delas upp i två rätvinkliga trianglar där basen delas mitt itu vid punkten $R$, det vill säga att $|AR|=5/2$ (att bevisa detta är inte så svårt, så jag överlämnar det åt läsaren). I detta fall ger det två rätvinkliga trianglar, som är likformiga med triangeln $\triangle APQ$!

Detta låter oss med likformighet bestämma radien.

Vi får med likformighet:

$\dfrac{r}{5}=\dfrac{\frac{5}{2}}{3}$

ur vilket vi enkelt löser ut att $r=25/6$.

Om vi lägger cirkeln medelpunkt i Origo och punkten A på x-axeln så gäller följande:

A har koordinaterna (r,0)

Q har koordinaterna (r,4)

P har koordinaterna (r-3,4)

Använder vi avståndsformeln för punkten P till origo får vi

r² =(r-3)² + 4²

r² = r² +9 -6r +16 som efter förenkling blir

6r = 25

r = 25/6

Ursäkta, jag ser nu att jag utgått från specialfallet då AMP är rät, annars behövs liter mer trig. Men Alvins lösning är snygg!

Smutstvätt skrev:

Ursäkta, jag ser nu att jag utgått från specialfallet då AMP är rät, annars behövs liter mer trig. Men Alvins lösning är snygg!

Skafts lösning är snyggare! :-)

Tack så mycket allihopa för hjälpen!