cirkel problem

Tips: ansätt en cirkel på formen:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

De två punkterna ska ligga på cirkeln, vilket ger två samband.

Slutligen gäller att linjen: $3x+4y= 2$ ska vara vinkelrät mot en linje från mittpunkten: $(x_0,y_0)$ till skärningspunkten mellan cirkeln och linjen.

tomast80 skrev :

Tips: ansätt en cirkel på formen:

$(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$

De två punkterna ska ligga på cirkeln, vilket ger två samband.

Slutligen gäller att linjen: $3x+4y= 2$ ska vara vinkelrät mot en linje från mittpunkten: $(x_0,y_0)$ till skärningspunkten mellan cirkeln och linjen.

Hej !

Jag har nu försökt att lösa uppgiften:

a= x noll och b = y noll

Jag förstod inte riktig vad du menar med att de ger två samband så jag bara antog att det är så här:

r^2 = (9- a ) ^2 + (0 - b)^2           och         r^2 = (0-a)^2 + (3 - b)^2 

Det betyder 

(9- a ) ^2 + (0 - b)^2=  (0-a)^2 + (3 - b)^2 

vilket blev till sist 

3a - 12 = b 

Det sätter jag in i en av de där ekvationerna 

a^2 + (3-(3a-12))^2 = r^2 

vilket blev 10a^2 - 90 a + 15^2 = r^2 

och då vet jag inte hur jag ska gå vidare . Skulle någon kunna förklara ?

Det ser bra ut hittills! Då återstår bara att knyta ihop säcken!

Till att börja med kan du uttrycka $r^2$ i variabeln $a$.

$r^2 = 81-18a+a^2+b^2 = 81-18a+a^2+(3a-12)^2$

$r^2 = 10a^2-90+225$

Det ger ekvationen:

$(x-a)^2 + (y-(3a-12))^2 = 10a^2-90a+225$

Slutligen ska vi dra nytta av att cirkeln tangeras av linjen $3x+4y = 2$

Först skriver vi om den på k-form: $y = -\frac{3}{4} x + \frac{1}{2}$

Vi kallar skärningspunkten mellan cirkeln och linjen för $(x,y) = (c,d)$.

Eftersom punkten ligger på linjen gäller då att: $d = -\frac{3}{4} c + \frac{1}{2}$.

Vidare gäller att tangenten är vinkelrät mot linjen mellan cirkelns mittpunkt $(a,b)$ och $(c,d)$.

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{d-b}{c-a} = k$

Då linjerna är vinkelräta fås att:

$k \cdot (-\frac{3}{4}) = -1 \Rightarrow k = \frac{4}{3}$

Vi kan nu uttrycka det sambandet endast i $a$ och $c$:

$\frac{-\frac{3}{4} c + \frac{1}{2} - (3a-12)}{c-a} = \frac{4}{3}$

Samtidigt ska punkten ligga på cirkeln, vilket ger ett samband till:

$(c-a)^2 + (-\frac{3}{4}c+\frac{1}{2}-(3a-12))^2 = 10a^2-90a+225$

Löser man detta ekvationssystem så erhålls värdena på $a$ och $c$ och därmed är uppgiften löst eftersom resten faller ut ( $b$ och $r$ ) som en funktion av $a$.

Hej! 

Jag har försökt att lösa som du sa, fast på det sista delen så fick jag fram både den korrekta a=5 och a=4. Jag undrar bara hur vet jag vilken som är det rätta alternativet?

Och tack så väldigt mycket för hjälpet :)

Hej!

Något måste blivit fel. Jag får följande lösningar med Wolfram Alpha. En av dem leder troligen till något orimligt värde på $r^2$. Har inte kollat, men undersök vad $b$ och $r^2$ blir i de två fallen.

Glöm vad jag skrev om du hann läsa det, jag inser nu att jag räknade fel!

Kan det möjligen vara så att det finns två möjliga cirklar som uppfyller villkoren i uppgiften, men i facit finns bara den ena med? Ser inte varför varianten med $a=25$ skulle vara fel. Vad säger ni andra?

Båda lösningarna verkar fungera! Se bild nedan:

Kom på att det nog finns ett lite enklare sätt att använda tangenten: implicit derivering. Derivera VL och HL i cirkelns ekvation, vilket ger till slut:

$\frac{dy}{dx} = k = \frac{-(x-a)}{y-b}$