cirkel och tangent problem

thoyu skrev :

 Hej!

Linjen y= x+ a är tangenten till cirkeln 4 =(x-4)^2 + y^2. Bestäm a

Jag har försökt och rita upp problemet, fast förstår ändå inte hur jag ska göra för att svaret ska bli a= - 4 + 2(2^(1/2)) eller a= - 4 - 2(2^(1/2)). skulle någon kunna ge ledtråd eller tips ?

Tack i förväg !

Kan du visa hur du har ritat och/eller hur du har räknat?

Tips:

Alla punkter på linjen uppfyller sambandet y = x + a.

Alla punkter på cirkeln uppfyller sambandet 4 = (x-4)^2 + y^2.

Tangeringspunkten $(x_0, y_0)$ mellan linjen och cirkeln ligger både på linjen och på cirkeln. Vilket/vilka samband måste alltså gälla för tangeringspunkten?

Om det ska vara en tangent så ska den skära cirkeln i exakt en enda punkt. Därför kan du bestämma a sådan att

$$\begin{gathered} (x-4{)}^2+(x + a{)}^2=4 \Rightarrow \\ 2x^2+(2a-8)x+a^2+12 =\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$

Har exakt en lösning.

Stokastisk skrev :

Om det ska vara en tangent så ska den skära cirkeln i exakt en enda punkt. Därför kan du bestämma a sådan att

$$\begin{gathered} (x-4{)}^2+(x+a{)}^2=4\Rightarrow \\ 2x^2+(2a-8)x+a^2+12=\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$

Har exakt en lösning.

Hej! jag förstår inte riktig hur jag ska lösa detta , för det innehåller ju två okända. Kan inte jag få lite mer ledtråd ?

thoyu skrev :

Stokastisk skrev :

Om det ska vara en tangent så ska den skära cirkeln i exakt en enda punkt. Därför kan du bestämma a sådan att

$$\begin{gathered} (x-4{)}^2+(x+a{)}^2=4\Rightarrow \\ 2x^2+(2a-8)x+a^2+12=\hspace{0.17em}0 \end{gathered}$$

Har exakt en lösning.

Hej! jag förstår inte riktig hur jag ska lösa detta , för det innehåller ju två okända. Kan inte jag få lite mer ledtråd ?

a är en konstant. Du har en andragradsekvation i x. Lös den med hjälp av kvadratkomplettering eller pq-formeln. 

Då får du ett uttryck för x som beror på a.

Visa oss hur långt du kommer på den vägen.

Hej!

det blev x^2 + (a-4)x + a^2 / 2 + 6 = 0 för mig och jag vet inte hur jag ska göra med kvadrat komplettering

thoyu skrev :

Hej!

det blev x^2 + (a-4)x + a^2 / 2 + 6 = 0 för mig och jag vet inte hur jag ska göra med kvadrat komplettering

Ja om du dividerar ekvationen med 2 så får du det där. Nu kan du använda PQ-formeln så man får

$x=-\frac{a-4}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{a-4}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{2}-6}$

Grejen nu är att om en linje skär en cirkel exakt en gång, då är det en tangent till cirkeln. Så för att denna ekvation ska ha exakt en lösning, så ska det under rot tecknet vara noll. Man får därför ekvationen

${\left(\frac{a-4}{2}\right)}^2-\frac{a^2}{2}-6=0$

Så det enda du nu behöver göra är att lösa denna ekvation.