Centripetalkraft kroklinjig rörelse

Ska man räkna med friktion? Kulan rullar, så friktionen måste vara väldigt låg.

Normalkraften när kulan är nära bordet är riktad snett uppåt, tills kulan når maximala radien. Då är normalkraften horisontell.

Om den nu når ända dit. Kan den det?

Det står inget om att friktionkrafter ska försummas, men det kanske de ska. 

Varför är normalkraften riktad snett uppåt? Är det baserat på resultatet att kulans rörelse stegrar i y-led?

Kan kan den väl? Förutsatt att hastigheten är tillräckligt stor. I denna laboration finns det självklart begränsningar på hastigheten.

Det jag inte förstår är att tyngdkraften mg verkar nedåt och normalkraften, dess motkraft bör ju då riktas uppåt, från underlaget. Sedan förstår jag att kulan trycker mot glasets väggar med en kraft och att dennes motkraften är riktad snett uppåt då glasets väggar är formade så.

Normalkraften är alltid vinkelrät mot underlaget, det är dess definition.

Ja, men med underlaget tänker jag bordet. När normalkraften är riktad snett uppåt är underlaget glasets snea väggar. Då har kulan redan lyfts från bordet. 

Alldeles i början påverkas kulan både av bordet och glaset, så där finns två olika normalkrafter.

Ok, men jag jag förstår inte sambandet med kulans hastighet och hur den ökar i y-led. Normalkraften är tyngdkraftens motkraft, eller hur? Så centripentalkraften är dessa två krafters resultant, alltså cirkelrörelsens kraftresultant? 

Är jag på spåren?

Kulans rörelseriktning kan delas upp i x-led och y-led. Kulan har i varje moment riktningen v och rörelsens y-komponent ges av v_y = v sin α och x-komponent v_x = v cos α 

Är inte säker på att jag förstått din figur så jag tar mig friheten att rita en egen.

Detta är en genomskärning av glas och kula. Det rödbruna strecket ska föreställa en del av glaset. Kulan är i detta läge på väg rakt bort från oss.

Fc är centripetalkraften som är i stor sett horisontell och mg är tyngdkraften. Om vi struntar i krafterna som verkar vinkelrätt mot glasytan och bara tittar på krafterna som är parallella med glasytan så har Fc en komposant som verkar snett uppåt och mg en komposant som verkar rakt motsatt håll.
Vad händer med Fc-komposanten när hastigheten ökar?

Detta är din konjakskupa upp och ned-vänd:

Om vi lägger en kula mot kanten och roterar glaset har vi:

Där alltså den streckade linjen till vänster är rotationsaxeln för glaset, $v_{glas}$ är glasets hastighet vid denna tidpunkt som är riktad in i bilden (kulans hastighet $v_{kula}$ är riktad ut ur bilden). Detta ser ut som följer ovanifrån:

Om vi tittar på krafterna som verkar på kulan får vi:

Vi har en resulterande centripetalkraft riktad horisontellt åt höger (vinkelrät till kulans rotationsaxel). Om glaset i denna punkten har vinkeln $\phi$ kan vi ställa upp: 

$N_2 \cos(\phi) = m(v_{kula}^2)/r_{glas}$

Vi kan nu summera krafter i vertikalt y-led med positiv riktning uppåt:

$N_1 + N_2 \sin(\phi) - mg = ma_{y}$

Vi förstår alltså att vi har en resulterande acceleration uppåt som är proportionerlig med storleken på kulans hastighet och vinkeln på glaset:

$ma_y = m(v_{kula}^2)/r_{glas} \tan(\phi) + N_1 - mg$

När hastigheten hos kulan ökar kommer den accelerera uppåt till området där centripetalkraften byter riktning (alltså där $\phi = 0$ och sedermera $r_{glas} = r_{max}$. Detta för att om den åker högre verkar den resulterande kraften i vertikal y-led nedåt.

Tack så mycket för svar!

Det jag inte riktigt förstår med din ritning Ebola är cos och sin-vinklarna.

Borde inte cos och sin bytas ut i uträkningarna? Här har jag ritat ut hur jag menar:

För om jag förstår din ritning rätt så har du skrivit ut N₂ cos Φ i horisontellt led och N₂ sin Φ i vertikalt men utifrån vinkeln blir det väl tvärtom?

Tänk på var $N_2$ är. Jag hoppas denna bild räcker:

Ja men såklart! Tack!

Vill du utveckla denna ekvation:

Jag förstår allt fram till tan(v). Jag förstår att det måste bero på att N₂ cos v = mg <=> N₂ = mg/cos v men jag ser inte sambandet. 

Här har jag ritat ut krafterna:

mg och N₁ tar ut varandra, men jag förstår inte varför N₂ cos α multipliceras med N₂ tan α (eller$\frac{N2 \sin \alpha }{N2 \cos \alpha }$)? Jag ser hur HL resulterar N₂ sin α men inte varför det ställs upp på så vis. 

Vill du utveckla denna ekvation

Du har:

$N_2 \cos(\phi) = m(v_{kula}^2)/r_{glas}$

Sedan har du:

$N_1 + N_2 \sin(\phi) - mg = ma_{y}$

Lös nu ut $N_2$ i den första och stoppa in i den andra.

mg och N1 tar ut varandra,

Nej, $mg$ och $N_1$ tar inte ut varandra. I takt med att hastigheten hos kulan ökar i storlek kommer $N_1$ minska i storlek. Detta är synonymt med att kulan lyfter från marken och rör sig uppåt längs med glasets vägg. Om du sätter $N_1=0$ kan du beräkna den hastigheten hos kulan som krävs för att den ska börja klättra upp för glaset i en helix-/spiral-formad rörelse.

Kom ihåg att $N_1$ alltså är vertikala normalkraften från golvet/bordet/underlaget.

Tillägg: 20 dec 2021 14:11

Kom ihåg också att det finns friktionskrafter längs med glasets vägg och underlaget som jag försummar i denna analys. Att ta hänsyn till dem gör bara problemet grötigare att beskriva men förändrar inte fysiken nämnvärt i min mening.

Förstår jag rätt att ma_y = N₂ sin α? Det är väl kraftekvationen för centripetalkraften i y-led? 

Jag får verkligen inte till det. 

N₂ cos α = mv²/r <=> N₂ = (mv²/r)/cos α => mv²/r cos α

N₁ + N₂ sin α - mg = ma_y

Ser inte sambandet.. 

Centripetalkraften är horisontell men den resulterar i en normalkraft från glasväggen, som vi kallar N₂.

Om du tittar på uttrycket N₂ = mv² / r cos α.
Du ser att ju högre hastighet, ju större blir N₂. Om vi då kollar det andra uttrycket så ser vi att när N₂ är tillräckligt stor så kommer N₂ sin α att bli större än mg, dvs kraften på kulan i y-led kommer att vara uppåt (Vi antar att kulan har lyft från bordet så N₁ finns inte längre).

Ja, så längt är jag med. Det förvirrar mig lite med uttrycket ma_y, är det kraftresultanten i y-led, alltså ma_y = N₂ sin α? 

Det jag inte förstår är ekvationens samband mellan HL och VL:

N₁ + N₂ sin α - mg = mv²/r cos α

Så ska det väl inte se ut? 

Du förvirrar dig själv och har nu skrivit av ekvationerna fel. Skriv av de precis så som de står i mitt inlägg istället för från minnet.

N₂ cos α = mv²/r

N₁ + N₂ sin α - mg = ma_y

Det är ma_y som förvirrar mig. Är det kraftresultanten N₂ eller kraftresultantens y-komposant, N₂ sin α?

Jag försöker fortfarande förstå hur tan α kommer in i ekvationen för ma_y.

förvirrad skrev:

N₂ cos α = mv²/r

N₁ + N₂ sin α - mg = ma_y

Det är ma_y som förvirrar mig. Är det kraftresultanten N₂ eller kraftresultantens y-komposant, N₂ sin α?

Enligt Newtons andra lag är kraftresultanten lika med massan gånger accelerationen:

$\displaystyle \sum F = ma$

Summa krafter i y-led ger därför massan gånger accelerationen i y-led.

Den andra summan är på grund av stationär cirkulär rörelse och ger:

$N_2 \cos(\phi) = mv^2/r$

Vi löser ut $N_2$ här:

$N_2 =\dfrac{ mv^2/r}{\cos(\phi)}$

Summa krafter i y-led ger:

$N_1 + N_2 \cdot \sin(\phi) -mg = ma_y$

Vi stoppar in kraften $N_2$ här:

$N_1 + \dfrac{ mv^2/r}{\cos(\phi)} \cdot \sin\left(\phi\right) -mg = ma_y$

Förenkling ger:

$N_1 +  mv^2/r \cdot \dfrac{\sin(\phi) }{\cos(\phi)}-mg = ma_y$

$N_1 +  mv^2/r \cdot \tan(\phi)-mg = ma_y$

Tack så jättemycket Ebola för dina välformulerade förklaringar.

Det jag inte visste tidigare var att N₂ sin ϕ multipliceras med (mv²/r)/cos ϕ för att få N_2.