Centralisator

Hej

jag skulle behöva lite hjälp med följande uppgift:

Bestäm centralisatorn i $G L_{2} (R)$ till var och en av nedanstående matriser:

a) $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

b) $(\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$

c) $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

d) $(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})$

I a ska svaret bli: alla matriser på formen $(\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}) i G L_{2} (ℝ)$ men jag vet inte riktigt hur man ska komma fram till det. Det jag kan se är ju att dom har lämnat nollorna och låter 1=a och 3=b

Steg 1: Vad är definitionen av centralisatorn för ett element i en grupp?

Steg 2: Antag att en godtycklig matris med matriselement a, b, c och d tillhör centralisatorn. Vad kan då sägas om vad talen a, b, c och d är för något?

Centralisatorerna är alltså de som kommuterar med elementet, därför kan du ställa upp ekvationen

$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \Leftrightarrow (\begin{matrix} a & 3 b \\ c & 3 d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \\ 3 c & 3 d \end{matrix})$

Notera att denna ekvation endast löses av $b = 0, c = 0$ och a och d kan vara vad som helst. Därför får du det svaret de givit i facit.

definitionen av en centralisator är väl just att gs=sg eller $\{g \in G | g s = s g f ö r a l l a s \in S\}$ vilket vi då kan visa genom $(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})$ så långt är jag med, men jag förstår inte riktigt varför vi sätter $(\begin{matrix} a & 3 b \\ c & 3 d \end{matrix})$ när våran ursprungsmatris var $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})$

Vad får du om du multiplicerar ihop matriserna?

okej då har jag löst a och b uppgifterna, men när jag multiplicerar ihop matriserna i c-uppgiften får jag $(\begin{matrix} a & a b \\ c & c d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a c & b d \\ c & d \end{matrix})$ och i d-uppgiften $(\begin{matrix} a - b & - a + b \\ c - d & - c + d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a - c & b - d \\ - a + c & - b + d \end{matrix})$ och där är jag osäker på hur man ska gå vidare.

c) Här bör du få

$(\begin{matrix} a & a + b \\ c & c + d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + c & b + d \\ c & d \end{matrix})$

Notera att detta är ett linjärt ekvationssystem, alltså

$\{\begin{matrix} a = a + c \\ a + b = b + d \\ c = c \\ c + d = d \end{matrix}$

d) Du får ta och ställa upp ekvationssystemet på samma sätt här.

Svara

Visa senaste svar