Cellen Ma5, hur lång tid tar det tills cellen är helt uttorkad?
Hej!
Jag är i behov av hjälp kring en lite mer omfattande uppgift i matte 5. Den handlar i kort om separabla differentialekvationer och olika samband.
Uppgiften lyder:
Människokroppen består till två tredjedelar av vatten. Nästan 70% av detta finns i kroppens celler. Vatten är livsviktigt för att cellerna ska fungera, och uttorkning av cellerna ska leda till celldöd. Men det finns organismer, t.ex. jästceller, vars celler kan överleva även om så mycket som 99% av vatteninnehållet försvinner.
Om en cell förlorar vatten, så sker det främst genom cellytan. Det är därför rimligt att anta att volymförändringen sker med en hastighet som är proportionell mot cellytan. För enkelhetens skull antar vi att cellen helt består av vatten.
Att volymförändringen för en cell sker med en hastighet som är proportionell mot cellytan kan uttryckas med differentialekvationen
dV/dt = -k*A(t)
där A(t) är den funktion som beskriver cellytans area vid tiden t timmar.
a) För att lösa differentialekvationen behöver vi uttrycka A(t) i termer av V(t). Vi antar därför att det finns ett samband mellan area och volymen som beskrivs av ekvationen
A(t) = d*(V(t))^p
för någon proportionalitetskonstant d och något tal p. Visa med hjälp av ett exempel att vårt antagande är rimligt och undersök vad som skulle kunna vara ett rimligt värde på p. Ansätt också ett tänkbart värde på konstanten d och motivera ditt val.
b) Ta reda på vad som är en rimlig volym för en jästcell och lös differentialekvationen dV/dt = -k*A(t) givet att cellens volym minskar till en tredjedel på 6 timmar. Hur många timmar tar det enligt modellen innan cellen är helt uttorkad? (Om du ska lösa differentialekvationen algebraiskt behöver du ta reda på hur man löser separabla differentialekvationer.)
Jag har redan löst del a och fick fram d = 4,84 och p= 2/3. Dessa svar är rätt är jag säker på. Men del b förstår jag verkligen inte. Hur ska jag ställa upp min ekvation för att lösa ut tiden det tar för cellen att bli helt uttorkad?
Alla svar uppskattas, men om ni råkar ha tid att förklara steg för steg hade det hjälpt väldigt mycket då jag har lätt att trassla bort mig i sådana här uppgifter.
Välkommen till Pluggakuten!
Hur motiverade du dina val av d och p i fråga a?
Kan du utnyttja resultatet i a-uppgiften för att lösa första delen av b-uppgiften? För att lösa andra delen av b-uppgiften tycker jag att man kan räkna cellen som "helt uttorkad" när 99 % av vattnet har försvunnit.
I del a) Lyder min motivering för tal d och p såhär:
Vi antar att cellen är av sfärisk form. Arean för en sfär beskrivs som och volymen som
. Ur detta går det att lösa ut r ur formeln för arean till . Stoppar vi sedan in detta i formeln för volym får vi
.
Löser vi sedan ut A får vi - Därav talet p= 2/3. Sedan kan vi lösa ta reda på proportionalitetskonstanten genom att ge ett värde på r (i detta fallet valde jag 0,5 för enkelhetens skull) och stoppa in värdena i sambandet A(t) = d*(V(t))^p
Detta ger i sin tur
Men oavsett om man tolkar cellen som helt uttorkad vid 99 eller 100% vattenförlust vet jag inte hur jag ska ställa upp min funktion och sedan lösa ut t för att ta reda på tiden. En rimlig volym för en jästcell sa min lärare att jag däremot kunde kolla upp online, så det är väl ett mindre problem antar jag.
Det står i uppgiften "givet att cellens volym minskar till en tredjedel på 6 timmar". Det gör att du kan få fram ett värde på a i diffekvationen.
