Cauchys medelvärdssats för slutna kurvor?

Jag tror inte att jag förstår din fråga.

Om du har en sluten kurva $C$ i planet så kan du inte ens tilldela den en funktion $f:D\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sådan att kurvan $C$ uppfyller:

$C=\{y\in\mathbb{R}:y=f\left(x\right), x\in D\}$.

Men cauchys medelvärdessats är inte samma som den vanliga medelvärdessatsen?

Det jag fiskade efter var om det stämmer att för en C1 sluten kurva så kan man för varje punkt p på kruvan hitta minst en annan punkt med samma derivata där.

Qetsiyah skrev:

Men cauchys medelvärdessats är inte samma som den vanliga medelvärdessatsen?

Det jag fiskade efter var om det stämmer att för en C1 sluten kurva så kan man för varje punkt p på kruvan hitta minst en annan punkt med samma derivata där.

Nej det var det inte. Jag klickade bara på din länk och antog att du menade första resultatet, tänkte inte ens på att skrolla ner och leta efter Cauchys medelvärdessats.

Om funktionerna $f$ och $g$ är kontinuerliga på det slutna intervallet $[a,b]$ och
deriverbar på det öppna intervallet $(a,b)$ så går det att skriva Cauchys medelvärdessats som:

$\frac{f\prime(\xi)}{g\prime(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

Dvs, det existerar ett $\xi\in (a,b)$ för vilket kvoten av derivatorna är densamma som kvoten av tillväxten för $f$ och $g$.

Om jag gör ett försök att tolka din fråga så funderar du över specialfall så som då $f(a)=f(b)$ eller $g(a)=g(b)$.
Speciellt om $g(a)=g(b)$ så är inte uttrycket vettigt. Det är enklare att tolka omskrivet:

$(f(b)-f(a))g\prime(\xi)=(g(b)-g(a))f\prime(\xi)$.

Det följer sedan av Rolles sats att om $g(a)=g(b)$ så antar funktionens derivata noll någonstans i det öppna intervallet,
dvs att det existerar ett $\xi\in (a,b)$ så att $g\prime(\xi)=0$.