Cauchys integralkriterium

Hej!

Jag kämpar med att visa hur man ska visa att följande olikhet stämmer:

$\frac{1}{2} < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} (n + 1)} < \frac{π + 1}{2}$

Jag vet att jag ska använda Cauchys integralkriterium men när jag ska beräkna de generaliserade integralerna blir det otroligt svårt, då jag verkar inte kunna använda varken variabelsubstitution eller partiell integrering. Skulle någon kunna hjälpa mig med hur jag ska integrera?

Variabelsubstition med kvadratroten av n som ny variabel är ju standard när man har kvadratrötter, och därefterefter så får du en integral över en rationell funktion och denna kan du förmodligen partialbråksuppdela eller använda en trigonometrisk substitution på.

Stort tack! Ditt tips triggade igång maskineriet i hjärnan. Återkommer ifall jag skulle fastna om det är okej? :)

Hej!

Definiera den strängt avtagande funktionen $f(x) = 1/((x+1)\sqrt{x})$ där $x>1$ . Om integralen $\int_{1}^{\infty}f(x) dx$ är ändlig så gäller det att

$\int_{1}^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\leq f(1) + \int_{1}^{\infty}f(x)dx.$

Integralen är ändlig och det visar sig att den är lika med $\pi/2$ , så det gäller att

$\frac{\pi}{2} \leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n) \leq \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2}$ .

Svara

Visa senaste svar