4 svar
404 visningar
petz 50 – Fd. Medlem
Postad: 13 okt 2018 18:28

Cauchys integralkriterium

Hej!

Jag kämpar med att visa hur man ska visa att följande olikhet stämmer:

12<n=11n(n+1)<π+12

Jag vet att jag ska använda Cauchys integralkriterium men när jag ska beräkna de generaliserade integralerna blir det otroligt svårt, då jag verkar inte kunna använda varken variabelsubstitution eller partiell integrering. Skulle någon kunna hjälpa mig med hur jag ska integrera?

SeriousCephalopod 2696
Postad: 13 okt 2018 18:38 Redigerad: 13 okt 2018 18:40

Variabelsubstition med kvadratroten av n som ny variabel är ju standard när man har kvadratrötter, och därefterefter så får du en integral över en rationell funktion och denna kan du förmodligen partialbråksuppdela eller använda en trigonometrisk substitution på.

petz 50 – Fd. Medlem
Postad: 13 okt 2018 18:42

Stort tack! Ditt tips triggade igång maskineriet i hjärnan. Återkommer ifall jag skulle fastna om det är okej? :) 

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 okt 2018 19:07 Redigerad: 13 okt 2018 19:09

Hej!

Definiera den strängt avtagande funktionen f(x)=1/((x+1)x)f(x) = 1/((x+1)\sqrt{x}) där x>1x>1. Om integralen 1f(x)dx\int_{1}^{\infty}f(x) dx är ändlig så gäller det att 

    1f(x)dxn=1f(n)f(1)+1f(x)dx.\int_{1}^{\infty}f(x)dx \leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n)\leq f(1) + \int_{1}^{\infty}f(x)dx.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 13 okt 2018 19:11

Integralen är ändlig och det visar sig att den är lika med π/2\pi/2, så det gäller att 

    π2n=1f(n)12+π2\frac{\pi}{2} \leq \sum_{n=1}^{\infty}f(n) \leq \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} .

Svara
Close