Cauchyföljder

Jag skall bevisa att summan av två Cauchyföljder är en Cauchyföljd.

1. Kan man säga att alla Cauchyföljder konvergerar mot reella tal?

2. Mitt resonemang var att eftersom en Cauchyföljd representerar ett reellt tal, och summan av två reella tal är ett reellt tal, implicerar det att summan av två Cauchyföljder är en Cauchyföljd. Detta är tydligen fel, varför?

Är frågan begränsad till följder i $ℝ$ ? Då är alla Cauchyföljder konvergenta. Summan av två konvergenta följder är alltid konvergent. En konvergent följd är alltid en Cauchyföljd.

PATENTERAMERA skrev:
Är frågan begränsad till följder i $ℝ$ ? Då är alla Cauchyföljder konvergenta. Summan av två konvergenta följder är alltid konvergent. En konvergent följd är alltid en Cauchyföljd.

Det är inte begränsat till rella Cauchyföljder.

Jag vet att rationella Cauchyföljder räknas som divergenta eftersom de inte konvergerar mot ett rationellt tal. Men varför kan man inte säga att även rationella Cauchyföljder konvergerar, eftersom dom konvergerar mot ett reellt tal istället?

OK låt oss vara lite mer generella och anta att vi har två följder (a_n) och (b_n) i ett normerat vektorrum.

Om följderna är Cauchy så finns det för varje $ϵ$ >0 ett heltal N sådant att ||a_n-a_m|| < $\frac{ϵ}{2}$ och ||b_n-b_m||< $\frac{ε}{2}$ , då m,n $\geq$ N.

Om du använder triangelolikheten så kan du visa att detta implicerar att $||a_{n} + b_{n} - (a_{m} + b_{m})|| < ε$ , då m,n $\geq$ N. Så följden (a_n) + (b_n) är också en Cauchyföljd.

Så resultatet gäller allmänt för följder i normerade vektorrum.

PATENTERAMERA skrev:
OK låt oss vara lite mer generella och anta att vi har två följder (a_n) och (b_n) i ett normerat vektorrum.

Om följderna är Cauchy så finns det för varje $ϵ$ >0 ett heltal N sådant att ||a_n-a_m|| < $\frac{ϵ}{2}$ och ||b_n-b_m||< $\frac{ε}{2}$ , då m,n $\geq$ N.

Om du använder triangelolikheten så kan du visa att detta implicerar att $||a_{n} + b_{n} - (a_{m} + b_{m})|| < ε$ , då m,n $\geq$ N. Så följden (a_n) + (b_n) är också en Cauchyföljd.

Så resultatet gäller allmänt för följder i normerade vektorrum.

Likt ett språk som man kan förstå men inte tala, kan jag förstå vad du skriver utan att själv kunna göra det du gör. Jag har fortfarande inte förstått hur man använder triangelolikheten vid sådana här tillfällen.

Om vi går tillbaka till min ursprungliga fråga nr 2, varför kan man inte skriva så och bevisa satsen på det viset?

Vet tyvärr inte vad ett normerat vektorrum är. Det har inte nämnts i kursen jag läser.

Om du tittar på följder i $ℝ e l l e r ℚ$ , så är det bara att ersätta ||.|| med vanligt absolutbelopp |.|, beviset blir annars det samma. Triangelolikheten säger bara att |x+y| $\leq$ |x| + |y|.

Ditt resonemang är likt det jag föreslog. Kanske ville din lärare se ett bevis som inte bygger på fullständigheten hos $ℝ$ , eftersom resultatet på inget sätt beror på fullständigheten hos rummet.

Cauchyföljder är definierade för alla vektorrum, så svaret på 1 är nej. På 2 är svaret ja, kommer ifrån triangelolikheten.

Helgegustav skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Är frågan begränsad till följder i $ℝ$ ? Då är alla Cauchyföljder konvergenta. Summan av två konvergenta följder är alltid konvergent. En konvergent följd är alltid en Cauchyföljd.

Det är inte begränsat till rella Cauchyföljder.

Jag vet att rationella Cauchyföljder räknas som divergenta eftersom de inte konvergerar mot ett rationellt tal. Men varför kan man inte säga att även rationella Cauchyföljder konvergerar, eftersom dom konvergerar mot ett reellt tal istället?

Om du definierar "en följd som inte konvergerar" som divergent, ja. Men det är en skillnad på en funktion som hoppar runt och blir godtyckligt stor.

Tag s_n=(-1)^n och t_n=n. Ingetdera av dessa följder är konvergenta, men jag skulle bara kalla (t_n)_n för "divergent".

Svara

Visa senaste svar