Cauchyföljd

Det ser ut som en lite ranglig början. Börja med att visa att du kan för varje $\epsilon$ finna ett $N$ sådant att n > N innebär att $\left|x_{n+1}-x_n\right|<\epsilon$.

Då får jag att $\left|x_{n+2}-x_n\right|<\frac{\epsilon }{2}$. Ärligt talat så är jag något osäker på vad jag egentligen skall göra i uppgiften.

Det du ska göra är alltså att för alla $\epsilon$ så existerar det ett N sådant att

n, m > N implicerar att $|x_{n} - x_{m}| < \epsilon$

I ditt senaste svar så har du inte bevisat detta då $m = n + 1$. Notera att du har att

$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\left|\frac{x_n+x_{n-1}}{2}-x_n\right|=\frac{\left|x_n-x_{n-1}\right|}{2}$

Så notera att detta halveras hela tiden, så man får att

$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\frac{\left|x_2-x_1\right|}{2^{n-1}}$

Detta visar alltså att det finns ett N sådant då $n = m + 1$. Men nu ska du visa att det gäller för alla n, m. Om du har att m = n + k, där k > 0 så får du att

$$\begin{gathered} \left|x_m-x_n\right|=\left|x_{n+k}-x_n\right|= \\ \left|(x_{n+k}-x_{n+k-1})+(x_{n+k-1}-x_{n+k-2})+...+(x_{n+1}-x_n)\right| \end{gathered}$$

Använd detta för att visa att du kan välja N så att det även gäller i detta fall.

Förstår tyvärr ännu inte...

Okej, men är du med på vad det är du ska bevisa, även om du kanske inte är med på hur man bevisar det?

Ja. I sista raden kan man ju använda sig av triangelolikheten för den långa summan, eller hur? Denna summa skall då vara mindre än något, men vad? 

Ja du kan använda triangelolikheten, du måste visa att det finns ett N så att

$\left|x_m-x_n\right|<\epsilon$

så om du kan visa att du kan välja ett N så att summan blir mindre än epsilon så är du färdig.

Edit: För att ge en liten hint, notera att det första resultatet jag visade innebär att du kan välja ett N så att $\left|x_{n+1}-x_n\right|<\frac{\epsilon }{2}$ så länge n > N.

Jag har alltså att den långa summan borde vara

$\sum _{}^{}\le k\frac{\left|x_2-x_1\right|}{2^x}<\epsilon$

Men vad skall x vara?

Du verkar ungefär förstått hur du ska gå tillväga. Men vi vet att

$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\frac{\left|x_2-x_1\right|}{2^{n-1}}$

så då vet vi att givet ett $\epsilon$ så kan vi välja ett N sådant att $|x_{n + 1} - x_{n}| < \epsilon/2$ för alla $n > N$. Därför får man sen av triangelolikheten att

$\left|x_m-x_n\right|\le \sum _{i=1}^k\left|x_{n+i}-x_{n+i-1}\right|=\sum _{i=1}^k\frac{\left|x_{n+1}-x_n\right|}{2^{i-1}}<\sum _{i=1}^k\frac{\epsilon }{2^i}<\epsilon$

Vilket alltså visar vad vi vill.

Notera att jag kanske har gått en liten omväg med hur man kan bevisa detta, lägg märke till att du bör ha att $x_m$ ligger mellan $x_n$ och $x_{n + 1}$ bara $m > n + 1$ vilket man också kan utnyttja. (Om jag inte tänker fel)

Men nu har du ett generellt tankesätt som kan fungera på flera serier, om du vet att

$\left|x_{n+1}-x_n\right|<M_n$

för alla $n$ samt att det gäller att

$\sum _{n=1}^{\infty }{M}_n<\infty$

så kommer det innebära att följden är en Cauchy följd.

Hur fick du att $\left|x_{n+1}-x_n\right|<\frac{\epsilon }{2}$, d.v.s. just halva epsilon? 

Eftersom du vet att

$\left|x_{n+1}-x_n\right|=\frac{\left|x_2-x_1\right|}{2^{n-1}}$

så vet vi ju att vi kan få $|x_{n + 1} - x_n|$ hur litet vi vill. Så givet ett $\epsilon > 0$ så vet vi att det existerar ett $N$ sådant att då $n > N$ så gäller det att

$|x_{n + 1} - x_n| < \epsilon/2$

Att jag just väljer att dela på två är för att summan $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{2^k}=1$ som jag utnyttjar senare när jag visar att det gäller generellt att $|x_m - x_n| < \epsilon$ då $m, n > N$.

Tack för hjälpen!

Vad blir förresten då gränsvärdet?

Ah, missade den delen, kan varit bättre att försökt sig på strategin att visa att följden ligger inom ett intervall [a_n, b_n] och visat att längden på detta intervall går mot noll. Du kan ju försöka dig på den strategin själv, då bör du få fram gränsvärdet på köpet också skulle jag tro.

Men hursomhelst, för att fortsätta på ungefär samma idé så har du ju att

$x_{n+1}-x_n=-\frac{1}{2}(x_n-x_{n-1})={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{n-1}(x_2-x_1)$

Nu har du att

$x_{n+1}-x_1=\sum _{k=1}^n(x_{k+1}-x_k)=\sum _{k=1}^n{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{k-1}(x_2-x_1)$

Om du nu låter n gå mot oändligheten och kallar gränsvärdet för x så får du

$x-x_1=(x_2-x_1)\sum _{k=0}^{\infty }{\left(-\frac{1}{2}\right)}^k=(x_2-x_1)·\frac{1}{1+{\displaystyle 1/2}}=\frac{2(x_2-x_1)}{3}=\frac{2(b - a)}{3}$

Alltså är

$x =\hspace{0.17em}\frac{2(b - a)}{3}+a=\frac{2b+a}{3}$

Hej!

Talföljden $(x_n)$ uppfyller den linjära rekurrensekvationen

    $x_{n+2}-0.5x_{n+1}-0.5x_{n} = 0$

med begynnelsevillkoren $x_{1} = a$ och $x_{2} = b$. Ekvationens motsvarande karakteristiska polynom

    $r^{2} - 0.5r-0.5 = 0$

har de två rötterna $r = -0.5$ och $r= 1$, vilket betyder att talföljden kan skrivas

    $x_{n} = A(-0.5)^{n} + B$,

där koefficienterna $A$ och $B$ bestäms av begynnelsevillkoren till $A = \frac{4}{3}(b-a)$ och $B = \frac{1}{3}(2b+a)$.

Nu är det uppenbart att talföljden är en Cauchyföljd och att den konvergerar mot talet $\frac{2b+a}{3}$.

Albiki