4 svar
134 visningar
nil22222 behöver inte mer hjälp
nil22222 68 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2020 10:58

Cauchy integralformel

Hej! Jag försöker förstå beviset som finns till cauchys integralformel. Men har fastnat hur de har fått fram 2pi*i...Hur har de räknat det? 

 

Freewheeling 220 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2020 13:12

Integralen är 2πi2 \pi i om z0z_0 ligger innanför C(0,1)C(0,1). Till att börja med, har du sett att vi i allmänhet har γ1z-z0dz\int_{\gamma} \frac{1}{z-z_0}dz om γ\gamma är en cirkel med radie r>0r>0 centrerad i z0z_0?

Jroth 1191 – Fd. Medlem
Postad: 22 apr 2020 14:46 Redigerad: 22 apr 2020 15:13

När det står "We have already seen" betyder det att de anser att de redan har visat att integralen blir 2πi2\pi i. Kanske redan några sidor tidigare.

Det är i alla händelser inte särskilt svårt att visa själv och resultatet kan dessutom generaliseras. Jag förutsätter att ni gått igenom hur man kan parametrisera en komplex funktion utmed en kurva C och att integralen över C kan uttryckas som

Cf(z)dz=t0t1f(z(t))dzdtdt\int_C f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{t_0}^{t_1}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t

Låt oss vara bekväma och införa variabeln θ\theta samt konstanten rr enligt

Det rr är ett reellt tal sådant att |z-z0|=r|z-z_0|=r. Med substitutionen z=z0+reiθz=z_0+re^{i\theta} får vi derivatan som behövs till integralen

dzdθ=ireiθ\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}=ire^{i\theta}

Och själva integralen blir

|z-z0|=rdzz-z0=02π1reiθ·ireiθdθ=i2π\oint_{|z-z_0|=r}\frac{\,\mathrm{d}z}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta=i2\pi

Vill man kan man generalisera ytterligare.  För godtyckligt heltal nn gäller

$$\oint_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\begin{cases}0,& n\neq1\\2\pi i,& n=-1\end{cases}$$

EDIT: Så här ska ovanstående tydas

nil22222 68 – Fd. Medlem
Postad: 23 apr 2020 11:27
Jroth skrev:

När det står "We have already seen" betyder det att de anser att de redan har visat att integralen blir 2πi2\pi i. Kanske redan några sidor tidigare.

Det är i alla händelser inte särskilt svårt att visa själv och resultatet kan dessutom generaliseras. Jag förutsätter att ni gått igenom hur man kan parametrisera en komplex funktion utmed en kurva C och att integralen över C kan uttryckas som

Cf(z)dz=t0t1f(z(t))dzdtdt\int_C f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{t_0}^{t_1}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t

Låt oss vara bekväma och införa variabeln θ\theta samt konstanten rr enligt

Det rr är ett reellt tal sådant att |z-z0|=r|z-z_0|=r. Med substitutionen z=z0+reiθz=z_0+re^{i\theta} får vi derivatan som behövs till integralen

dzdθ=ireiθ\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}=ire^{i\theta}

Och själva integralen blir

|z-z0|=rdzz-z0=02π1reiθ·ireiθdθ=i2π\oint_{|z-z_0|=r}\frac{\,\mathrm{d}z}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta=i2\pi

Vill man kan man generalisera ytterligare.  För godtyckligt heltal nn gäller

$$\oint_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\begin{cases}0,& n\neq1\\2\pi i,& n=-1\end{cases}$$

EDIT: Så här ska ovanstående tydas

Tack så för din förklaring. Det var så tydligt! Varför väljer de just 2pi? 

Smaragdalena 80504 – Avstängd
Postad: 23 apr 2020 12:36

2π2\pi är ett helt varv.

Svara
Close