Cauchy integralformel

Integralen är $2 \pi i$ om $z_0$ ligger innanför $C(0,1)$. Till att börja med, har du sett att vi i allmänhet har $\int_{\gamma} \frac{1}{z-z_0}dz$ om $\gamma$ är en cirkel med radie $r>0$ centrerad i $z_0$?

När det står "We have already seen" betyder det att de anser att de redan har visat att integralen blir $2\pi i$. Kanske redan några sidor tidigare.

Det är i alla händelser inte särskilt svårt att visa själv och resultatet kan dessutom generaliseras. Jag förutsätter att ni gått igenom hur man kan parametrisera en komplex funktion utmed en kurva C och att integralen över C kan uttryckas som

$\int_C f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{t_0}^{t_1}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t$

Låt oss vara bekväma och införa variabeln $\theta$ samt konstanten $r$ enligt

Det $r$ är ett reellt tal sådant att $|z-z_0|=r$. Med substitutionen $z=z_0+re^{i\theta}$ får vi derivatan som behövs till integralen

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}=ire^{i\theta}$

Och själva integralen blir

$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{\,\mathrm{d}z}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta=i2\pi$

Vill man kan man generalisera ytterligare.  För godtyckligt heltal $n$ gäller

$$\oint_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\begin{cases}0,& n\neq1\\2\pi i,& n=-1\end{cases}$$

EDIT: Så här ska ovanstående tydas

Jroth skrev:

När det står "We have already seen" betyder det att de anser att de redan har visat att integralen blir $2\pi i$. Kanske redan några sidor tidigare.

Det är i alla händelser inte särskilt svårt att visa själv och resultatet kan dessutom generaliseras. Jag förutsätter att ni gått igenom hur man kan parametrisera en komplex funktion utmed en kurva C och att integralen över C kan uttryckas som

$\int_C f(z)\,\mathrm{d}z=\int_{t_0}^{t_1}f(z(t))\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t$

Låt oss vara bekväma och införa variabeln $\theta$ samt konstanten $r$ enligt

Det $r$ är ett reellt tal sådant att $|z-z_0|=r$. Med substitutionen $z=z_0+re^{i\theta}$ får vi derivatan som behövs till integralen

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}=ire^{i\theta}$

Och själva integralen blir

$\oint_{|z-z_0|=r}\frac{\,\mathrm{d}z}{z-z_0}=\int_0^{2\pi}\frac{1}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,\mathrm{d}\theta=i2\pi$

Vill man kan man generalisera ytterligare.  För godtyckligt heltal $n$ gäller

$$\oint_{|z-z_0|=r}(z-z_0)^n\,\mathrm{d}z=\begin{cases}0,& n\neq1\\2\pi i,& n=-1\end{cases}$$

EDIT: Så här ska ovanstående tydas

Tack så för din förklaring. Det var så tydligt! Varför väljer de just 2pi? 

$2\pi$ är ett helt varv.