Calculus - Minsta totala sträcka

minst4 skrev:

Hej! Jag skulle behöva hjälp med frågan nedan.
Jag förstår inte riktigt hur man ska lösa detta med tanke på vart de flesta reser och så. 

Staden B ligger a+b km norr om staden A och dessa städer är förbundna
med en rak väg. En ny stad C växer upp c km öster om vägen, a km norr
om A och b km söder om B, och en ny väg från C ska anslutas till vägen
mellan A och B. En undersökning visar att av alla resor mellan C och
antingen A eller B kommer 20% att gå till/från A och 80% till/från B. Var på
vägen mellan A och B bör den raka vägen mellan C och denna anslutas
för att den sammanlagda vägsträckan för samtliga resor mellan C och A
eller B ska minimeras?
Ledning: Ta hänsyn till funktionens definitionsmängd för att få ett
allmängiltigt svar

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Kul problem, det finns säkert många olika sätt att lösa det på.

Har du ritat en figur så att du förstår hur städerna ligger i förhållande till varandra?

Om inte, gör det.

Rita även in den raka vägen från C till sträckan AB. Denna väg ansluter vid en punkt som det är din uppgift att ta reda på.

---------

Översiktligt lösningsförslag:

Inför någon lämplig obekant som bestämmer var anslutningspunkten ligger.

Ta med hjälp av detta fram uttryck dels för vägsträckan mellan C och A, dels för vägsträckan mellan C och B.

Inför en kostnadsfunktion som beskriver hur mycket resorna kostar. Denna kostnadsfunktion består av två delar, dels bidraget från resorna mellan C och A, dels bidraget från resorna mellan C och B.

Funktionsuttrycket kommer att innehålla konstanterna a, b och c samt den obekanta storheten du införde tidigare. Den är alltså en funktion av din obekanta storhet.

Din uppgift blir då att minimera värdet av kostnadsfunktionen.

Hej, tack för svar. Jag har ritat upp det men förstår inte riktigt hur jag ska införa just kostnaden. 
Jag kan sätta längden från a->c till tex (a+x) + c och likadant b->c till (b-x) + c eller något liknande, men jag vet inte hur man får med 80% och 20%

Använd dig av (t ex) Pythagoras sats för att beräkna hur lång vägen från A till C är som en funktion av x (x kan vara positivt eller negativt). Kalla det t ex  $l_A(x)$.

Använd dig av (t ex) Pythagoras sats för att beräkna hur lång vägen från B till C är som en funktion av x (x kan vara positivt eller negativt). Kalla det t ex $l_B(x)$.

Eftersom 80 % av resorna går mellan B och C (och 20 % mellan A och C) är funktionen som skall minimeras

$l_{tot}=0,20l_A(x)+0,80l_B(x)$. Derivera och sätt derivatan lika med 0, lös för x.